从卡西尼曲线的光滑性到最大模原理

叶卢庆

杭州师范大学理学院, 数学 112, 学号:1002011005

2014 年 4 月 5 日

现在我们用几何的方法来研究有两个焦点的卡西尼曲线. 类似的研究手段在伟大的 Newton 的《自然

哲学的数学原理》里大量采用, 在那本书里, 牛顿主要使用欧氏平面几何结合其所创立的微积分来解释一

个运动的世界.Tritan Needham 所著的 Visual Complex Analysis 也大量地采用了这种几何的方法, 这本

书有中译本, 叫《复分析——可视化方法》, 由齐民友先生翻译.

所谓有两个焦点的卡西尼曲线, 就是平面上满足到两个定点的距离乘积等于定值这个条件的所有点形

成的集合, 且定值为正. 两个定点叫做焦点.

如图(1), 设点 C 是某一条卡西尼曲线上的任意一点,A, B 是该卡西尼曲线的焦点. 则易得当点 C 沿着

两个圆周的任意一个圆周运动时, 都不可能继续保持在同一条卡西尼曲线上. 当点 C 进入深蓝色和淡蓝

色箭头所指的区域内部时, 也不可能继续保持在同一条卡西尼曲线上. 当点 C 进入红色箭头或者绿色箭

头所指的区域内部时, 才有可能保持在同一条卡西尼曲线上.

图 1

叶卢庆 (1992—), 男, 杭州师范大学理学院数学与应用数学专业本科在读,E-mail:h5411167@gmail.com

有两个焦点的卡西尼曲线的几何构造1