《计算理论导论》作业1
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更新于2022-08-08
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【计算理论导论】作业1主要涉及计算理论的基础概念,包括有限自动机(Deterministic Finite Automata, DFA),正则表达式,上下文无关文法(Context-Free Grammar, CFG),图灵机,以及复杂度理论。
1. **有限自动机(DFA)**:
- 题目要求画出识别特定语言的DFA状态图,例如识别包含至少3个1的字符串(w | w含有至少3个1)和以相同符号开始和结束的字符串(w | w以相同的符号开始和结束)。设计DFA时,我们需要确保每个状态都能正确地对输入序列进行划分,以区分是否满足语言的定义。
2. **非确定型有限自动机(NFA)与确定型有限自动机(DFA)的转换**:
- 定理1.19指出,任何NFA都可以转换为等价的DFA。转换过程通常涉及到构造一个状态转换表,将NFA的状态映射到DFA的一个状态,确保DFA能正确识别给定语言。
3. **正则表达式与非确定型有限自动机(NFA)的对应**:
- 引理1.29说明了正则表达式描述的语言是正则的。题目要求将正则表达式转换为NFA,这是通过构造一种状态转移模型来完成的,每种操作(如选择、重复等)都对应NFA的一种状态变化。
4. **泵引理**:
- 泵引理是证明某些语言不是正则的常用工具。例如,语言A1={0n1n2n | n>0}和A2={www | w∈{a,b}*}不能由DFA识别,因为它们违背了泵引理的条件。
5. **上下文无关文法(CFG)与推下自动机(PDA)**:
- CFG用于产生语言,而PDA用于识别上下文无关语言。例如,对于语言{w | w至少含有3个1}和{w | w以相同的符号开始和结束},可以分别构建相应的CFG和PDA。
6. **上下文无关文法(CFG)转换为等价的PDA**:
- 定理2.12指出,一个语言是上下文无关的,当且仅当存在PDA识别它。因此,给定的CFG R可以通过一定的过程转换为等价的PDA。
7. **CFG转换为乔姆斯基范式**:
- 定理2.6说明,任何上下文无关语言都可以表示为乔姆斯基范式的CFG。这个过程涉及到消除产生式的特定形式,如移进、归约和消除单位产生式。
8. **图灵机与图结构问题**:
- 实现图灵机来判定字符串中0和1的数量是否相等,或0的数量是1的两倍。对于这类问题,图灵机需要设计一种策略来计数0和1的出现次数。
9. **算法复杂度分析**:
- 对于语言CONNECTED,即连通无向图的集合,可以通过图的遍历算法(如深度优先搜索或广度优先搜索)来判断其连通性,证明该问题是P类问题。
10. **三角形检测问题(TRIANGLE)**:
- 证明TRIANGLE问题属于P类,可以通过相邻矩阵快速查找3-团(即三角形)。算法通过扫描矩阵并检查每行是否存在两条边,然后检查这两条边是否构成三角形。
11. **复杂度类P, NP, NP-completeness**:
- P类是可以在多项式时间内解决的问题;NP类是可以在非确定性多项式时间内验证解的问题;NP-complete是NP中最难的问题,同时也是P类问题的上界。P和NP的关系是P⊆NP,但是否P=NP是未解决的计算理论核心问题。
12. **P类与NP-complete类的例子**:
- P类问题的例子包括:求解线性方程组、计算最短路径、确定子集和问题。
- NP-complete类问题的例子包括:旅行商问题、子集和问题、3-SAT问题。
以上内容涵盖了计算理论中的一些基础概念和问题,包括自动机理论、正则表达式、上下文无关文法、图灵机、复杂度分析以及算法设计。这些知识点是理解和研究计算理论的基石。