《计算理论导论》作业1

【计算理论导论】作业1主要涉及计算理论的基础概念，包括有限自动机（Deterministic Finite Automata, DFA），正则表达式，上下文无关文法（Context-Free Grammar, CFG），图灵机，以及复杂度理论。 1. **有限自动机（DFA）**： - 题目要求画出识别特定语言的DFA状态图，例如识别包含至少3个1的字符串（w | w含有至少3个1）和以相同符号开始和结束的字符串（w | w以相同的符号开始和结束）。设计DFA时，我们需要确保每个状态都能正确地对输入序列进行划分，以区分是否满足语言的定义。 2. **非确定型有限自动机（NFA）与确定型有限自动机（DFA）的转换**： - 定理1.19指出，任何NFA都可以转换为等价的DFA。转换过程通常涉及到构造一个状态转换表，将NFA的状态映射到DFA的一个状态，确保DFA能正确识别给定语言。 3. **正则表达式与非确定型有限自动机（NFA）的对应**： - 引理1.29说明了正则表达式描述的语言是正则的。题目要求将正则表达式转换为NFA，这是通过构造一种状态转移模型来完成的，每种操作（如选择、重复等）都对应NFA的一种状态变化。 4. **泵引理**： - 泵引理是证明某些语言不是正则的常用工具。例如，语言A1={0n1n2n | n>0}和A2={www | w∈{a,b}*}不能由DFA识别，因为它们违背了泵引理的条件。 5. **上下文无关文法（CFG）与推下自动机（PDA）**： - CFG用于产生语言，而PDA用于识别上下文无关语言。例如，对于语言{w | w至少含有3个1}和{w | w以相同的符号开始和结束}，可以分别构建相应的CFG和PDA。 6. **上下文无关文法（CFG）转换为等价的PDA**： - 定理2.12指出，一个语言是上下文无关的，当且仅当存在PDA识别它。因此，给定的CFG R可以通过一定的过程转换为等价的PDA。 7. **CFG转换为乔姆斯基范式**： - 定理2.6说明，任何上下文无关语言都可以表示为乔姆斯基范式的CFG。这个过程涉及到消除产生式的特定形式，如移进、归约和消除单位产生式。 8. **图灵机与图结构问题**： - 实现图灵机来判定字符串中0和1的数量是否相等，或0的数量是1的两倍。对于这类问题，图灵机需要设计一种策略来计数0和1的出现次数。 9. **算法复杂度分析**： - 对于语言CONNECTED，即连通无向图的集合，可以通过图的遍历算法（如深度优先搜索或广度优先搜索）来判断其连通性，证明该问题是P类问题。 10. **三角形检测问题（TRIANGLE）**： - 证明TRIANGLE问题属于P类，可以通过相邻矩阵快速查找3-团（即三角形）。算法通过扫描矩阵并检查每行是否存在两条边，然后检查这两条边是否构成三角形。 11. **复杂度类P, NP, NP-completeness**： - P类是可以在多项式时间内解决的问题；NP类是可以在非确定性多项式时间内验证解的问题；NP-complete是NP中最难的问题，同时也是P类问题的上界。P和NP的关系是P⊆NP，但是否P=NP是未解决的计算理论核心问题。 12. **P类与NP-complete类的例子**： - P类问题的例子包括：求解线性方程组、计算最短路径、确定子集和问题。 - NP-complete类问题的例子包括：旅行商问题、子集和问题、3-SAT问题。 以上内容涵盖了计算理论中的一些基础概念和问题，包括自动机理论、正则表达式、上下文无关文法、图灵机、复杂度分析以及算法设计。这些知识点是理解和研究计算理论的基石。