2020暑期专题1-图论1题解1

【图论】是计算机科学中的一个重要分支，主要研究网络中节点和边的关系。在这个问题中，我们关注的是有向图的强连通分量（Strongly Connected Components, SCC）。题目【2020暑期专题1-图论1题解1】涉及到如何判断一个有向图是否是强连通的。 **强连通图**是指在一个有向图中，任意两个节点都互相可达的图。换句话说，如果存在一条从节点A到节点B的路径，同时也存在一条从节点B回到节点A的路径，那么这两个节点就在同一个强连通分量中。 **Tarjan算法**是用于寻找有向图中的强连通分量的一种高效算法。在提供的代码中，`tarjan()`函数实现了这一算法。它对每一个未访问过的节点调用`tarjan()`进行深度优先搜索（Depth-First Search, DFS），并维护两个数组`dfn[]`和`low[]`，分别记录节点的深度优先次序和访问到的子树中最早祖先的深度优先次序。`low[]`数组用于检测是否存在回路，如果一个节点的`low[]`值等于其自身的`dfn[]`值，那么表示这个节点及其子树构成了一个强连通分量。 在`tarjan()`函数中，我们用栈`stk[]`来保存当前路径上的节点。当一个子树中没有更浅的点时，意味着找到了一个新的强连通分量，此时`sccnum++`表示找到了一个新的强连通分量，并将栈中当前子树的节点分配给对应的强连通分量`scc[]`。 在`init()`函数中，初始化了所有必要的数据结构，如清除边表`head[]`，清零`dfn[]`、`low[]`、`scc[]`数组，以及初始化计数器`cnt`、`index`、`sccnum`和栈顶指针`top`。 在主函数`main()`中，读取图的节点数`n`和边数`m`，然后通过`add()`函数构建有向图。接着，对每一个未分配强连通分量的节点执行`tarjan()`函数。如果整个图只包含一个强连通分量（即`sccnum==1`），则输出"Yes"表示所有节点都能互相到达；否则输出"No"表示图不是强连通的。 在另一个题目【B-HDU5934】中，虽然没有提供完整代码，但描述了利用类似的方法解决另一类问题。这里的目标是找到引爆所有炸弹的最小花费。根据炸弹的坐标和爆炸范围建立有向边，形成有向图。然后，寻找强连通分量并进行缩点操作，得到若干个有向无环图（Directed Acyclic Graph, DAG）。对于每个DAG，选择入度为0的节点（即没有任何炸弹直接依赖它的节点），并从中选取花费最小的炸弹进行引爆。重复这个过程，直到所有炸弹都被引爆。 总结来说，这两个题目都利用了图论中的强连通分量概念，通过Tarjan算法解决实际问题。在实际编程中，理解和运用这些算法能够帮助我们处理复杂的数据结构和网络连接问题。