母函数（Generating function）详解 — TankyWoo _ Tanky Woo1
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2022-08-04
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母函数（Generating function）详解 — TankyWoo
母函数（Generating function）详解
— Tanky Woo
在数学中，某个序列的母函数(Generating function，又称生成函数)是一种形式幂级数，其每一项的系数可以提
供关于这个序列的信息。使用母函数解决问题的方法称为母函数方法。
母函数可分为很多种，包括普通母函数、指数母函数、L级数、贝尔级数和狄利克雷级数。对每个序列都可以写出
以上每个类型的一个母函数。构造母函数的目的一般是为了解决某个特定的问题，因此选用何种母函数视乎序列本
身的特性和问题的类型。
这里先给出两句话，不懂的可以等看完这篇文章再回过头来看：
1.“把组合问题的加法法则和幂级数的乘幂对应起来”
2.“母函数的思想很简单 — 就是把离散数列和幂级数一 一对应起来，把离散数列间的相互结合关系对
应成为幂级数间的运算关系，最后由幂级数形式来确定离散数列的构造. “
我们首先来看下这个多项式乘法：
母函数图(1)
由此可以看出:
1.x的系数是a1,a2,…an 的单个组合的全体。
2. x^2的系数是a1,a2,…a2的两个组合的全体。
………
n. x^n的系数是a1,a2,….an的n个组合的全体（只有1个）。
进一步得到：
母函数图(2)
母函数的定义
对于序列a0，a1，a2，…构造一函数：
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