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在强化学习领域，Q函数是估计一个状态-动作对在未来能获得奖励的期望值，它在价值函数近似中扮演着关键角色。本讨论聚焦于使用线性特征函数来近似Q函数，这是一种常见的策略，特别是在面对高维或复杂状态空间时。朱志儒在研究中提出了将Q函数表示为一系列线性组合的形式： 𝑄∗(𝑠,𝑎) ≈ 𝑄(𝑠,𝑎,𝑤) = 𝑤1𝑓1(𝑠,𝑎) + w2𝑓2(𝑠,𝑎) + … + 𝑤𝑛𝑓𝑛(𝑠,𝑎) 这里的 Qi(s,a) 是目标Q函数，它是实际环境下的最优Q值；Qi(s,a,w) 是使用参数w的近似Q函数，其中fi(s,a)是状态s和动作a的特征函数，wn是对应的权重系数。 为了优化这些权重，我们通常会最小化某个损失函数，以使近似Q函数更接近实际的Q函数。在这种情况下，采用的是均方误差损失函数： J(w) = E [(𝑄∗(𝑠,𝑎) ― 𝑄(𝑠,𝑎,𝑤))^2] 这个损失函数衡量了近似Q函数与目标Q函数之间的差异的平方，E表示期望值，意味着我们在所有可能的状态-动作对上取平均。 寻找局部最优解的过程通常采用梯度下降法。对损失函数J(w)关于每个权重wij进行偏导数计算，找到使得J(w)下降最快的方向。对于wij，我们有： ∂𝐽(𝑤)∂𝑤𝑖= ―2(𝑄∗(𝑠,𝑎) ― 𝑄(𝑠,𝑎,𝑤))∂𝑄(𝑠,𝑎,𝑤)∂𝑤𝑖 接着，我们更新wij的值，使其沿着负梯度方向移动，即减少损失函数的值。修正量Δwij的计算公式为： ∆wij = ―2(𝑄∗(𝑠,𝑎) ― 𝑄(𝑠,𝑎,𝑤))fi(s,a) 这里，fi(s,a)是对应特征函数对wij的偏导数，表示状态s、动作a的特征如何影响损失函数的变化。 为了实现迭代更新，我们可以使用学习率α来控制每次更新的步长，得到wi的新值： wi←wij + α[𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟]fi(s,a) 其中，error = 𝑄∗(𝑠,𝑎) ― 𝑄(𝑠,𝑎,𝑤)，是当前近似Q值与目标Q值的差值。这个更新规则是在线学习中常见的策略，它允许我们逐步调整权重，使得Q函数的近似越来越准确。 总结起来，朱志儒的方法是通过线性组合的特征函数来近似Q函数，并使用梯度下降法和均方误差损失函数来优化权重，以达到最佳近似效果。这种方法在实际应用中具有高效性和可扩展性，特别适用于大型或连续状态空间的强化学习问题。