第4周作业1

在本份第4周的作业中，我们涉及了矩阵理论中的多个重要概念，包括矩阵的运算性质、行列式的计算、矩阵的秩以及矩阵求逆的方法。以下是对这些知识点的详细解释： 1. **选择题**： - (1) 设 B=I+AB, C=A+CA，这里B和C都是基于矩阵A的运算结果。根据矩阵乘法的性质，我们可以看到B-C实际上等于(I+AB)-(A+CA)=I-A+CA-AB。由于A(B+C)和(B+C)A都是A乘以一个矩阵和它的相反数，因此A(B+C)=-A(B+C)，这意味着A(B+C)+A(B+C)=0，进一步得到B-C=-A，答案是(D) -A。 - (2) 行列式 Duffy = |0𝑎𝑎0b00b0cc0𝑑00𝑑|可以通过对角线元素相乘减去非对角线元素相乘得到，即(ad-bc)^2，因此答案是(A) (ad-bc)^2。 - (3) 当交换矩阵A的第1行和第2行得到矩阵B时，行列式值变为原来的负一倍，因为行列式的值与矩阵的行（或列）排列顺序有关。由于|A|=3，那么|B|=-3。又因为A*为A的伴随矩阵，根据矩阵乘法规则，|BA*|=|B||A*|=-3*|A|^2=-3*3^2=-27，所以答案是(D) -27。 2. **计算题**： - 设矩阵𝐴 = [𝑥111𝑥111𝑥]，其中x是实数。矩阵的秩是指其非零行（或列）的最大数目。观察矩阵，第一列和第二列完全相同，这意味着如果x不等于1，那么秩将是1，因为可以将第一列表示为第二列的倍数。如果x=1，那么矩阵将有两列相同，但第三列不依赖于前两列，此时秩为2。我们需要具体分析x的值来确定秩。 3. **证明题**： - 如果A是n阶实方阵，A*是A的伴随矩阵，并且A* = AT（即A的转置），这意味着A是正交矩阵。正交矩阵的逆矩阵就是其转置，即A^-1 = AT。由于A* ≠ 0，A不是奇异矩阵，所以A可逆。对于n=3的情况，根据3阶行列式性质，如果|A|=1，那么A也是可逆的。 4. **课堂的初等变换求逆的题**： - 线性方程组AX=b，其中A是m×n矩阵，b是m×1矩阵。如果存在矩阵B使得BA=I，那么B是A的逆矩阵，记为A^-1。X=Bb表示解X可以用B乘以b得到，这恰好是线性方程组的解，因为AX=b意味着X=A^-1b。如果B不是A的逆矩阵，那么X=Bb将不会给出方程组AX=b的解。例如，如果A是2×2矩阵，A=[1 2; 3 4]，A^-1=[-2 1; 1.5 -0.5]，b=[5; 6]，那么X=[-1; 3]是方程组的解，而如果B=[1 1; 1 1]，那么X=[11; 11]不是原方程组的解。 以上就是本周作业中的核心知识点，涵盖了矩阵运算、行列式、矩阵秩、矩阵的逆及它们在解决线性方程组中的应用。理解和掌握这些概念对于深入学习线性代数至关重要。