17级工科《线性代数》1

《线性代数》是工科本科学生必修的基础数学课程，主要研究向量、矩阵、线性空间、线性变换等概念及其相互关系。以下根据题目内容详细解析相关知识点： 1. **初等列变换**：初等列变换是线性代数中对矩阵进行的三种基本操作：交换两列、将一列乘以非零常数、将一列加到另一列的倍数。题目提到A经过若干次初等列变换变成B，根据线性代数的基本定理，这说明A和B有相同的行向量空间，但并不意味着它们相似或相等。选项分析： - (A) 错误，因为初等列变换不保证矩阵保持原行空间不变，所以不能得出存在可逆阵P使得PA=B。 - (B) 正确，初等列变换不会改变矩阵的行空间，因此对应的齐次线性方程组Ax=0和Bx=0有相同的解集。 - (C) 错误，相似矩阵需要通过行初等变换转化为相同的标准型，而列变换无法实现这一点。 - (D) 错误，初等列变换不能得出存在可逆阵Q使得AB=Q。 2. **可逆矩阵的性质**：对于可逆矩阵，它们的运算具有特定性质。 - (A) 错误，AB不一定可逆，例如当A或B之一为单位矩阵时，AB仍可逆。 - (B) 错误，-AB不一定可逆，同理，负号不影响矩阵是否可逆。 - (C) 错误，BA不一定可逆，因为AB≠BA通常情况下。 - (D) 正确，根据矩阵乘法的结合律，(AB)(BA)=A(BA)B=AB^2，若A和B都可逆，AB^2当然可逆。 3. **向量组的线性表示**：向量组A可以被向量组B线性表示，意味着A中的每个向量都是B中向量的线性组合。若B线性无关，其向量个数必须大于等于A的向量个数，即st≥；若B线性相关，可能ts≤，也可能ts>。正确答案是： - (A) 错误，A线性相关并不能推出st≤。 - (B) 错误，A线性无关也不能推出st≤。 - (C) 错误，B线性相关不直接决定st的大小关系。 - (D) 正确，B线性无关意味着B的向量个数至少等于A的，因此ts≤。 4. **非齐次线性方程组的解的存在性和唯一性**： - (A) 错误，只有当r=m时，方程组有解。 - (B) 错误，nr=m时，方程组有唯一解。 - (C) 错误，nm=m并不一定保证唯一解，还取决于r的值。 - (D) 正确，当方程的秩小于未知数的个数时，方程组有无穷多解。 线性代数中的其他知识点包括伴随矩阵的性质、特征值和特征向量、二次型的秩、行列式的计算、矩阵的逆、线性变换以及正交变换等，这些在后续的题目中均有涉及，如计算题部分涉及到矩阵的逆、行列式的计算、特征值和特征向量、矩阵的秩、线性方程组的解法，以及二次型化为标准形的正交变换等。解答题部分则要求实际应用这些理论解决问题，如求矩阵的列向量组极大无关组、线性方程组的通解、以及二次型的正交变换等。 线性代数是理解现代科学技术中许多关键问题的基础，它在工程、物理、计算机科学等领域都有广泛应用。掌握好线性代数的知识，不仅能帮助我们处理具体问题，还能培养抽象思维和逻辑推理能力。