非线性规划是一种优化方法，用于寻找一组变量的值，以最大化或最小化某个非线性的目标函数，同时满足一组非线性等式和不等式约束。在数学上，非线性规划问题可以表示为：
```markdown
minimize (or maximize) f(x)
subject to:
g(x) ≤ 0 (非线性不等式约束)
h(x) = 0 (非线性等式约束)
lb ≤ x ≤ ub (变量的下限和上限约束)
```
其中，\( f(x) \) 是目标函数，\( g(x) \) 和 \( h(x) \) 分别是非线性不等式和等式约束，\( lb \) 和 \( ub \) 是变量的下限和上限。
MATLAB 提供了工具来解决非线性规划问题，如 `fmincon` 函数。这个函数的工作原理是使用一种优化算法，如梯度下降法、拟牛顿法或内点法，来搜索满足约束的最优解。
在 MATLAB 中，使用 `fmincon` 解决非线性规划问题的语法大致如下：
```matlab
[x, fval] = fmincon(@objectiveFunction, initialGuess, A, b, Aeq, beq, lb, ub, @constraintFunction);
```
- `objectiveFunction` 是目标函数的句柄。
- `initialGuess` 是初始解的向量。
- `A` 和 `b` 分别是不等式约束的系数矩阵和右侧常数向量。
- `Aeq` 和 `beq` 分别是等式约束的系数矩阵和右侧常数向量。
- `lb` 和 `ub` 是变量的下限和上限向量。
- `constraintFunction` 是非线性约束的句柄，返回两个向量 `g`（不等式约束）和 `h`（等式约束）。
在给定的实例中，有两个具体的非线性规划问题：
1. 第一个例子展示了如何使用 `linprog` 解决线性规划问题。目标是最小化 \( f(x) = -2x_1 - 3x_2 \)，约束条件为 \( x_1 + 2x_2 \leq 8 \) 和 \( x_1, x_2 \geq 0 \)。MATLAB 代码执行后得到解 \( x = [4, 2]^T \) 和最小目标值 \( f = 14 \)。
2. 第二个例子涉及非线性规划，使用 `fmincon` 函数。目标函数是 \( f(x) = \sum_{i=1}^3 x_i^2 + 8 \)，非线性不等式约束为 \( -x_1^2 + x_2 - x_3^2 \leq 0 \) 和 \( x_1 + x_2^2 + x_3^3 - 20 \leq 0 \)，非线性等式约束为 \( -x_1 - x_2^2 + 2 = 0 \) 和 \( x_2 + 2x_3^2 - 3 = 0 \)。代码执行后，得到解 \( x = [0.5522, 1.2033, 0.9478]^T \) 和最小目标值 \( f = 10.6511 \)。
3. 第三个例子展示了如何处理混合线性与非线性约束。目标函数被改写为最小化 \( f(x) = -2x_1 - 3x_1^2 - 3x_2 - x_2^2 - x_3 \)，不等式约束包括 \( x_1 + 2x_1^2 + x_2 + 2x_2^2 + x_3 \leq 10 \)，\( x_1 + x_1^2 + x_2 + x_2^2 - x_3 \leq 50 \)，\( 2x_1 + x_1^2 + 2x_2 + x_3 \leq 40 \)，等式约束为 \( x_1^2 + x_3 = 2 \) 和 \( x_1 + 2x_2 \geq 1 \)，且 \( x_1 \geq 0 \)。运行代码后，得到解 \( x = [2.3333, 0.1667, -3.4444]^T \) 和最小目标值 \( f = 18.0833 \)。
非线性规划在许多实际问题中都有应用，如工程设计、经济模型、机器学习等。MATLAB 提供的这些工具使得解决这类问题变得更加方便。
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