线性代数231 线性代数是数学的一个分支,研究向量空间和线性变换的性质。线性代数是现代数学和计算机科学的基础之一,应用于机器学习、计算机图形学、数据分析、物理学、工程学等领域。 在本节中,我们将讨论一阶线性常微分方程的矩阵解法。微分方程是数学中一种重要的方程,用于描述自然界和社会现象中的变化规律。我们将通过矩阵抽象,计算出对应系数,最终得到解。 首先,我们需要了解微分方程的意义。在例 1 中,我们看到,u(0) = [10],就是说明在最初 0 时刻,u1 = 1,所有的值都在 u1 中;而此时 u2 = 0,但是随着时间流逝,t 增加时,我们可以看到 du2/dt > 0。这说明 u2 的导数大于 0,u2 会慢慢增加,u1 慢慢减少;(或者理解为 u1 中的值流向 u2)。最终达到某一状态,这需要我们计算来得到。 为了解决微分方程,我们需要列出方程 du/dt = Au,其中系数矩阵 A 应综合 du1/dt 与 du2/dt,写做 [-1 2; 1 -2]。我们先给出通解形式: ∑ Ci eλit xi ni=1。通解形式是如何得到的,我们不做研究。具体验证可以将通解看做几个纯指数解的组合,随便挑一个代入验证一下即可。 然后,我们需要解 A 矩阵的特征值与特征向量。不难得到这个矩阵有两个特征值:λ1 = 0,λ2 = -3。特征向量为:x1 = [2 1], x2 = [1 -1],代入通解得到其形式如下:u(t) = C1 e0t [2 1] + C2 e-3t [1 -1]。再代入初值:u(0) = [10],确定 C1 与 C2,最终解为:u(t) = 1/3 [2 1] + 1/3 e-3t [1 -1]。 分析这个通解,我们发现随着时间 t 的增加,后一项 1/3 e-3t [1 -1] 逐渐衰减,最后趋于 0,而前一项 1/3 [2 1] 不随时间改变,这也符合我们一开始分析微分方程意义的时候 u 的走势。 通过这道题,我们可以得到解决微分方程过程中遇到的某些特点:(1)特征值是负数时,u(t) 趋于 0。这个特点很简单,但是要注意一种特殊情况,就是特征值为复数时,a+bi 怎么去判断 u(t) 的趋势呢?答案是只有实数部分决定 u(t) 趋势。(2)稳态存在时(如例 1 中最后 t 趋于无穷时,u 趋于一个确数),一个特征向量 = 0,其余的特征向量全部 < 0。(3)如果有任何特征值实数部分 > 0,则解无法收敛。 在解决微分方程时,我们需要进行解耦。解耦是指将矩阵 A 解耦合,使得新方程不耦合。我们设 S 是特征向量矩阵。令 u = SV,dudt = Sdvdt = Au = ASV,提取出 Sdvdt = ASV。两边同时左乘上 S-1,得到:dvdt = S-1ASV = ΛV,得到关于 V 的对角化方程组。新方程不耦合,dv1/dt = λ1v1, dv2/dt = λ2v2,以此类推。最终可得到:v(t) = eΛtv(0)。 同类型地,也有:u(t) = eAtu(0) = SeΛtS-1u(0)。这里就牵扯到了一个新问题,eAt 和 eΛt 是什么?表面来看,eAt 就是 u(t) 的解,那么 eAt 为什么与 SeΛtS-1 相等呢?它们表示的是什么呢?我们接下的来重点就在介绍这些式子上。 eAt 和 eΛt 都是矩阵指数,它们的计算涉及到幂级数公式:e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ……。扩展到矩阵的计算中,同样,I 代替 1,矩阵代替 x,得到:eAt = I + At + (At)^2/2! + (At)^3/3! + ……。接下来我们对角化形式化简 A,得到:eAt = S(I + Λt + (Λt)^2/2! + (Λt)^3/3! + ……)S-1。综合幂级数公式,得到:eAt = SeΛtS-1。 因此,我们可以看到,eAt 和 eΛt 都是矩阵指数,它们表示的是矩阵的指数函数。eAt 是 u(t) 的解,而 eΛt 是关于 V 的对角化方程组的解。它们之间的关系是:eAt = SeΛtS-1。
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