C7_第2讲_极大似然估计和 估计量的评选标准1

在数理统计中，参数估计是研究如何利用样本数据来推断总体参数的过程。本讲主要探讨了两种常用的参数估计方法：矩估计法和极大似然估计法。 **矩估计法**是基于样本原点矩（如均值）来估计总体参数的方法。如果总体的分布形式已知，可以通过样本均值来估计总体均值，样本方差来估计总体方差等。这种方法的理论基础是辛钦大数定律，即随着样本数量的增加，样本矩趋于总体矩。矩估计法的步骤包括： 1. 计算总体的矩。 2. 使用样本矩来建立关于未知参数的方程。 3. 解这个方程组得到估计量。 例如，如果总体服从正态分布，且未知参数为均值μ和方差σ²，那么可以用样本均值作为μ的矩估计，样本方差作为σ²的矩估计。 **极大似然估计法**则是根据样本数据出现的“可能性”（即似然性）来寻找最可能的参数值。直观理解是，参数使得样本出现的概率最大，就是最合理的估计。极大似然估计的步骤包括： 1. 计算样本的似然函数，对于离散型随机变量，它是样本的联合概率；对于连续型随机变量，它是样本的联合密度函数。 2. 求似然函数（或对数似然函数）的最大值点。这通常涉及求导数和解方程，或者分析函数的单调性。 3. 解出的参数值即为最大似然估计量。 举例来说，如果总体X服从正态分布N(μ, σ²)，且μ和σ²未知，可以构建似然函数，并通过求导找到μ和σ²的最大似然估计。在给定的样本值x1, x2, ..., xn下，会得到μ和σ²的估计值。 在实际应用中，矩估计和极大似然估计都有其适用场景。矩估计简单直观，但有时可能无法给出最优估计；而极大似然估计通常能给出无偏且有效的估计，但计算过程可能较为复杂。选择哪种方法通常取决于问题的具体情况和对估计量的要求。 总结起来，参数估计是统计学中的核心内容，矩估计和极大似然估计是两种常用的方法。矩估计依赖于样本矩与总体矩的关系，极大似然估计则依赖于样本出现的最可能情况。理解并熟练掌握这两种方法对于理解和应用统计学至关重要，特别是在人工智能领域，数据分析和模型训练中经常需要用到这些方法来估计模型参数。