第12讲 幂级数与零点(2020-4-2)1

在本讲中，我们主要探讨了幂级数及其在复分析中的应用，特别是与零点、全纯函数和收敛性相关的概念。以下是这些知识点的详细解释： 1. 幂级数的收敛半径： 给定正数列 {an} 单调收敛到 0，我们可以证明幂级数 ∑∞n=0 anzn 的收敛半径 R 至少为 1。这涉及到比值判别法，当 |z| = R 时，如果极限 |an+1/an| → 0，则 R 至少为1。同时，幂级数在 ∂D(0, R) \ {R} 上处处收敛，这表明在圆周上的除极点外的所有点都收敛。 2. 全纯函数的存在性： 我们询问是否存在一个在原点附近全纯的函数 f(z)，满足特定的条件。例如，f(z) 在某些特定点处的值应为零或具有特定的实数值。这类问题通常涉及解析延拓和洛朗级数，全纯函数在它的定义域内必须是可微的，并且满足柯西-黎曼方程。 3. 复平面上全纯函数的性质： 如果 f(z) 在复平面上全纯，并且在数列 {1/n} (n ≥ 1) 上取实数值，那么根据复函数的实部和虚部的性质，可以证明 f(z) 必须在实轴上也取实数值。这是因为全纯函数的实部和虚部分别是解析函数，所以如果在某区域内它们的值已知，那么在整个连通区域内的值都可以确定。 4. 收敛半径与最大模原理： 设 f(z) = ∑∞n=0 anzn 的收敛半径 R > 0，对于 r ∈ (0, R)，定义 A(r) = max|z|=r |Re(f(z))|。我们可以利用积分来表示 anrn，即 anrn = 1/π ∫2π0 [Re(f(reiθ))]e^(-inθ)dθ，并给出 an 的模的上界 |an|rn ≤ 2A(r) - 2Re(f(0))。这个结果揭示了幂级数系数与函数的最大模之间的关系。 5. 全纯函数的映射性质： 假设 f(z) 在 D(0, R) 上全纯并将其映射为区域 Ω，根据Cauchy积分公式，我们可以计算出 Ω 的面积，即 Ω 的面积 = π∞∑n=1 n|an|^2 R^2n。这反映了全纯函数的幂级数系数与它所生成的区域的几何特性之间的联系。 6. 幂级数的部分和与一致收敛： 对于在 D(0, R) 上全纯的函数 f(z) 展开的幂级数，部分和函数 Sm(z) 内闭一致收敛于 f(z)。我们可以用余项的绝对值来估计这种收敛的速度，即 |f(z) − Sm(z)| ≤ ∥f∥Dρ |z|^(m+1)/ρ^m (ρ - |z|)，其中 ρ ∈ (0, R)。这个不等式不仅证明了Sm 内闭一致收敛，还提供了关于收敛速度的信息。 以上就是关于幂级数、全纯函数、收敛性和零点等复分析核心概念的详细讨论，这些知识对于理解和研究复函数理论至关重要。