第12讲 幂级数与零点(2020-4-2)1
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2022-08-03
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第 12 讲：幂级数与零点 2019.4.2
1. 设正数列 {a
n
} 单调收敛到 0, 证明
(1). 幂级数
∞
n
=0
a
n
z
n
的收敛半径 R ≥ 1.
(2). 幂级数
∞
n=0
a
n
z
n
在 ∂D(0, R) \ {R} 上处处收敛.
2. 是否存在满足下面条件, 在原点附近全纯的函数 f(z)?
(1). f(
1
2n−1
) = 0, f(
1
2n
) =
1
2n
, ∀n ≥ 1.
(2). f(
1
n
) =
1
n+1
∀n ≥ 1.
(3). f(
1
2n−1
) = f(
1
2n
) =
1
2
n
, ∀n ≥ 1.
3. 假设 f(z) 在复平面上全纯, 在
1
n
n≥1
上取实数值, 证明 f(z) 必然在
实轴上取实数值
.
4. 假设 f(z) =
∞
n=0
a
n
z
n
的收敛半径 R > 0. 对于 r ∈ (0, R), 定义
A(r) = max
|z|=r
Ref(z). 证明对任意 n ≥ 1, 成立
a
n
r
n
=
1
π
2π
0
[Ref(re
iθ
)]e
−inθ
dθ; |a
n
|r
n
≤ 2A(r) − 2Ref(0).
5. 假设 f(z) =
∞
n=0
a
n
z
n
在 D(0, R) 上全纯，将 D(0, R) 一一映为区域
Ω，证明 Ω 的面积为
π
∞
n=1
n|a
n
|
2
R
2n
.
6. 假设 f 在 D = D(0, R) 上全纯，可以展成幂级数
f(z) =
∞
n=0
a
n
z
n
, ∀z ∈ D.
记其部分和函数 S
m
(z) =
m
n=0
a
n
z
n
, 取 ρ ∈ (0, R), 证明
|f(z) − S
m
(z)| ≤
∥f∥
D
ρ
|z|
m+1
ρ
m
(ρ − |z|)
, ∀z ∈ D
ρ
= D(0, ρ).
(注：上式不仅可以说明 S
m
内闭一致收敛于 f, 而且给出收敛的速度估计)
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