2016年北京大学高等代数考研试题(Xiongge)1
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2022-08-04
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北京大学
2016 年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题
科目名称：高等代数与解析几何
考生须知：
1. 本试卷满分为 150 分，全部考试时间总计 180 分钟；
2. 所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。
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1. (10’) 在 R
3
上定义线性变换 A, A 在自然基 ε
1
=
1
0
0
, ε
2
=
0
1
0
, ε
3
=
0
0
1
下
的矩阵为
0 1 −1
0 0 1
0 0 0
.
求 R
3
的一组基, 使得 A 在这组基下具有 Jordan 型.
2. (10’) 3 阶实矩阵 A 的特征多项式为 x
3
− 3x
2
+ 4x − 2. 证明 A 不是对称阵也不是正交
阵.
3. (15’) 在所有 2 阶实方阵上定义二次型 f : X → Tr(X
2
). 求 f 的秩和符号差.
4. (15’) 设 V 是有限维线性空间, A, B 是 V 上线性变换满足下面条件:
(1)AB = O. 这里 O 是 0 变换;
(2) A 的任意不变子空间也是 B 的不变子空间;
(3) A
5
+ A
4
+ A
3
+ A
2
+ A = O.
证明 BA = O.
5. (15’) 设 V 是全体次数不超过 n 的实系数多项式组成的线性空间. 定义线性变换 A :
f (x) → f (1 − x), 求 A 的特征值和对应的特征子空间.
6. (15’) 计算行列式. 各行底数为等差数列, 各列底数也为等差数列, 所有指数都是 50,
1
50
2
50
3
50
· · · 100
50
2
50
3
50
4
50
· · · 101
50
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
100
50
101
50
102
50
· · · 199
50
.
7. (20’) 设 V 是复数域上有限维线性空间 A 是 V 上可线性变换, A 在一组基下矩阵为 F.
(1) 若 A 可对角化对任意 A 的不变子空间 U, 存在 U 的一个补空间 W 是 A 的不变子
空间;
(2) 若对任意 A 的不变子空间 U, 存在 U 的一个补空间 W 是 A 的不变子空间, 证明 F
可对角化.
8. (20’) 平面上一个可逆仿射变换将一个圆映为椭圆或圆. 详细论证这一点.
9. (15’) 平面 Ax + By + Cz + D = 0 与双曲抛物面 2z = x
2
− y
2
交于两条直线. 证明
A
2
− B
2
− 2CD = 0.
10. (15’) 正十二面体有 12 个面, 每个面为正五边形, 每个顶点连接 3 条棱. 求它的内切球与
外接球半径比.
注：题目来源于博士数学论坛里的 TangSong .
考试科目：高等代数与解析几何 第 1 页 共 1 页
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