numpy复现聚类算法（内含数据集）

## 1. 聚类算法都是无监督学习吗? 什么是聚类算法？聚类是一种机器学习技术，它涉及到数据点的分组。给定一组数据点，我们可以使用聚类算法将每个数据点划分为一个特定的组。理论上，同一组中的数据点应该具有相似的属性和/或特征，而不同组中的数据点应该具有高度不同的属性和/或特征。**聚类是一种无监督学习的方法**，是许多领域中常用的统计数据分析技术。 常用的算法包括**K-MEANS、高斯混合模型（Gaussian Mixed Model，GMM）、自组织映射神经网络（Self-Organizing Map，SOM）** ## 2. k-means(k均值)算法 ### 2.1 算法过程 K-均值是最普及的聚类算法，算法接受一个未标记的数据集，然后将数据聚类成不同的组。 K-均值是一个迭代算法，假设我们想要将数据聚类成 n 个组，其方法为: - 首先选择𝐾个随机的点，称为聚类中心（cluster centroids）； - 对于数据集中的每一个数据，按照距离𝐾个中心点的距离，将其与距离最近的中心点关联起来，与同一个中心点关联的所有点聚成一类。 - 计算每一个组的平均值，将该组所关联的中心点移动到平均值的位置。 - 重复步骤，直至中心点不再变化。 用 来表示聚类中心，用𝑐(1),𝑐(2),...,𝑐(𝑚)来存储与第𝑖个实例数据最近的聚类中心的索引，K-均值算法的伪代码如下： ``` Repeat { for i = 1 to m c(i) := index (form 1 to K) of cluster centroid closest to x(i) for k = 1 to K μk := average (mean) of points assigned to cluster k } ``` 算法分为两个步骤，第一个 for 循环是赋值步骤，即：对于每一个样例𝑖，计算其应该属于的类。第二个 for 循环是聚类中心的移动，即：对于每一个类𝐾，重新计算该类的质心。 K-均值算法也可以很便利地用于将数据分为许多不同组，即使在没有非常明显区分的组群的情况下也可以。下图所示的数据集包含身高和体重两项特征构成的，利用 K-均值算法将数据分为三类，用于帮助确定将要生产的 T-恤衫的三种尺寸。  ### 2.2 损失函数 K-均值最小化问题，是要最小化所有的数据点与其所关联的聚类中心点之间的距离之和，因此 K-均值的代价函数（又称畸变函数 Distortion function）为：  其中 }})代表与 })最近的聚类中心点。 我们的的优化目标便是找出使得代价函数最小的 },c^{(2)},...,c^{(m)})和 。 ### 2.3 k值的选择 在运行 K-均值算法的之前，我们首先要随机初始化所有的聚类中心点，下面介绍怎样做： 1. 我们应该选择𝐾 < 𝑚，即聚类中心点的个数要小于所有训练集实例的数量。 2. 随机选择𝐾个训练实例，然后令𝐾个聚类中心分别与这𝐾个训练实例相等K-均值的一个问题在于，它有可能会停留在一个局部最小值处，而这取决于初始化的情况。 为了解决这个问题，我们通常需要多次运行 K-均值算法，每一次都重新进行随机初始化，最后再比较多次运行 K-均值的结果，选择代价函数最小的结果。这种方法在𝐾较小的时候（2--10）还是可行的，**但是如果𝐾较大，这么做也可能不会有明显地改善。** 没有所谓最好的选择聚类数的方法，通常是需要根据不同的问题，人工进行选择的。选择的时候思考我们运用 K-均值算法聚类的动机是什么。有一个可能会谈及的方法叫作**“肘部法则”**。关 于“肘部法则”，我们所需要做的是改变𝐾值，也就是聚类类别数目的总数。我们用一个聚类来运行 K 均值聚类方法。这就意味着，所有的数据都会分到一个聚类里，然后计算成本函数或者计算畸变函数𝐽。𝐾代表聚类数字。  我们可能会得到一条类似于这样的曲线。像一个人的肘部。这就是“肘部法则”所做的，让我们来看这样一个图，看起来就好像有一个很清楚的肘在那儿。你会发现这种模式，它的畸变值会迅速下降，从 1 到 2，从 2 到 3 之后，你会在 3 的时候达到一个肘点。在此之后，畸变值就下降的非常慢，看起来就像使用 3 个聚类来进行聚类是正确的，**这是因为那个点是曲线的肘点，畸变值下降得很快，𝐾 = 3之后就下降得很慢，那么我们就选𝐾 = 3。**当你应用“肘部法则”的时候，如果你得到了一个像上面这样的图，那么这将是一种用来选择聚类个数的合理方法。 ### 2.4 KNN与K-means区别？ K最近邻(k-Nearest Neighbor，KNN)分类算法，是一个理论上比较成熟的方法，也是最简单的机器学习算法之一。 | KNN | K-Means | | :----------------------------------------------------------- | :----------------------------------------------------------- | | 1.KNN是分类算法<br/>2.属于监督学习<br/>3.训练数据集是带label的数据 | 1.K-Means是聚类算法<br/>2.属于非监督学习<br/>3.训练数据集是无label的数据，是杂乱无章的，经过聚类后变得有序，先无序，后有序。 | | 没有明显的前期训练过程，属于memory based learning | 有明显的前期训练过程 | | K的含义：一个样本x，对它进行分类，就从训练数据集中，在x附近找离它最近的K个数据点，这K个数据点，类别c占的个数最多，就把x的label设为c。 | K的含义：K是人工固定好的数字，假设数据集合可以分为K个蔟，那么就利用训练数据来训练出这K个分类。 | **相似点** 都包含这样的过程，给定一个点，在数据集中找离它最近的点。即二者都用到了NN(Nears Neighbor)算法思想。 ### 2.5 K-Means优缺点及改进 k-means：在大数据的条件下，会耗费大量的时间和内存。 优化k-means的建议： 1. 减少聚类的数目K。因为，每个样本都要跟类中心计算距离。 2. 减少样本的特征维度。比如说，通过PCA等进行降维。 3. 考察其他的聚类算法，通过选取toy数据，去测试不同聚类算法的性能。 4. hadoop集群，K-means算法是很容易进行并行计算的。 5. 算法可能找到局部最优的聚类，而不是全局最优的聚类。使用改进的二分k-means算法。 二分k-means算法：首先将整个数据集看成一个簇，然后进行一次k-means（k=2）算法将该簇一分为二，并计算每个簇的误差平方和，选择平方和最大的簇迭代上述过程再次一分为二，直至簇数达到用户指定的k为止，此时可以达到的全局最优。 ## 3. 高斯混合模型(GMM) ### 3.1 GMM的思想 高斯混合模型（Gaussian Mixed Model，GMM）也是一种常见的聚类算法，与K均值算法类似，同样使用了EM算法进行迭代计算。高斯混合模型假设每个簇的数据都是符合高斯分布（又叫正态分布）的，当前**数据呈现的分布就是各个簇的高斯分布叠加在一起的结果。** 第一张图是一个数据分布的样例，如果只用一个高斯分布来拟合图中的数据，图 中所示的椭圆即为高斯分布的二倍标准差所对应的椭圆。直观�