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层次分析法在数学建模中的应用

摘要：人们在生活中处理一些决策问题的时候，要考虑的因素有多有少，有大有小，但是

一个共同的特点是它们通常都涉及到经济、社会、人文等方面的因素。在作比拟、判断、

评价、决策时，这些因素的重要性影响力或者优先程度往往难以量化，人的主观选择会起

着相当主要的作用，这就给用一般的数学方法解决问题带来本质上的困难。这是就有人提

出

了一种能有效地处理这样一类问题的实用方法，称为层次分析法，这是一种定性和定量相

筹划是办家宴还是去饭店，是吃中餐、西餐还是自助餐；假期旅游和科研成果

的评价。诸如此类问题面临抉择，就要慎重考虑，反复比拟，尽可能满意的决

策。

然而人们在处理上面这些决策问题的时候，要考虑的因素有多有少，有大有

小，但是一个共同的特点是它们通常都涉及经济社会和人文等方面的因素。在

做比拟、判断、评价、决策时，这些因素的重要性、影响力或者优先程度难以

量化，人的主观选择会起着相当重要的作用。T.L.Saaty 等人在 20 世纪 70 年

代提出了一种能有效地处理这样一类问题的实用方法，称为层次分析法〔简称

AHP〕，这是一种定性和定量相结合的、系统化、层次化的分析方法。

二． 层次分析法的根本步骤

确定方案层对目标层的权重。在层次分析法中要给出进展综合的计算方法。

三． 构造成比照拟阵、计算权向量并做一致性检验；计算组合权向量并做组

合一致性检验。

1.成比照拟矩阵和权向量

所有因素两两相互比照，比照时采用相对尺度，以尽可能减少性质不同的

诸因素相互比照的困难，提高准确度。

假设要比拟某一层 n 个因素对 上层一个因素 O 的影响，每次取两

个因素 和 。用 表示 和 对 O 的影响之比，全部比拟结果可用成比照

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拟矩阵。

权向量：如果得到的成比照拟阵是一致阵，自然应取对应于特征根 n 的归一

化的特征向量。〔即分量和为 1〕表示诸因素对上层因素 O 的权重。此向量称

为权向量。记 ，作为权向量即 满足 A = 。

通常在层次分析法的应用中都会采用 1-9 尺度即比拟尺度。〔如下表 1 所

示〕

尺度

含义

1

3

5

比的影响强

比的影响明显的强

比的影响绝对的强

与的影响之比在上述两个相邻等级之

与的影响之比为上面 的互反数

〔表 1〕

2 一致性检验

n 阶正互反矩阵 A 的最大特征根为 n，且〔此为一致阵时〕n 阶正互反矩阵

A 的最大特征根是 ≥n，而当 =n 时是一致阵。

CI= -n/n-1 此为一致性指标，〔CI=0 时 A 为一致阵〕CI 越大 A 不一致程

将成比照拟阵 A〔n≥3〕的一致性指标 CI 与同阶的随机一致性指标 RI 之比

称为一致性比率 CR。当 CR<0.1 时认为 A 的不一致程度在容许围之。〔即一

致性检验通过〕

3 组合权向量

计算个方案对目标的权向量，称为组合权向量。相类似于以上的方法做一

致性检验。

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四 实例分析

1 科研成果评价的层次构造模型

通过对围绕科研成果评价的相关问题作深入分析，我们将影响科研成果评价

的主要因素分解为 4 个层次，各层次的联系用相连的直线表示，它们构成了如

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实

践

性

科研成果

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：提出新理论、观点、概念，论证成立；

：研究成果为有关部门决策与管理提供参考依据，具有很高的适用价值；

：研究成果形成了可操作方法，实用性强，具有一定的推广价值；

：省、国学术界同行放映强烈，具有较高的引用率。

为了客观地确定各项指标在评价指标体系中的权重，我们采用问卷调查的方式

调查了高等专科学校的 100 名教师。问卷调查表设计了 15 个问题，每个问题

为各个子准那么对各个准那么的影响大小，以及各个准那么对目标的影响的大

小单独评分。被调查人员就自己认为的权重大小进展打分，以此收集得到原始

的评分数据。

的成比照拟矩阵如下：

要注意的是成比照拟阵中的元素应为 1-9 尺度中的数。

这里的矩阵中的元素是子准那么的比拟尺度。

(二)计算权向量

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