### 线性代数范例25题分析与解答
#### 1. 求解 \((\frac{1}{2}A)^{-1}\)
**题目**: 已知矩阵 \(A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}\)，求 \((\frac{1}{2}A)^{-1}\)。
**解答**:
- **解法一**：利用矩阵的幂运算及逆运算的性质。
\[
(\frac{1}{2}A)^{-1} = (2^{-1}A)^{-1} = 2A^{-1}
\]
首先计算 \(A^{-1}\)。
- 计算 \(A\) 的行列式 \(\det(A)\)：
\[
\det(A) = 0 \cdot (0 \cdot 0 - 1 \cdot 1) - 1 \cdot (1 \cdot 0 - 1 \cdot 1) + 1 \cdot (1 \cdot 1 - 0 \cdot 0) = -1 + 1 + 1 = 1
\]
- 计算伴随矩阵 \(A^{*}\)：
\[
A^{*} = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}
\]
- 计算 \(A^{-1}\)：
\[
A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} A^{*} = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}
\]
- 最终答案：
\[
(\frac{1}{2}A)^{-1} = 2A^{-1} = \begin{pmatrix} -2 & 2 & 2 \\ 2 & -4 & 2 \\ 2 & 2 & -2 \end{pmatrix}
\]
- **解法二**：通过特征值分解求解。
- 计算 \(A\) 的特征值：
\[
\lambda_1 = -1, \lambda_2 = 1, \lambda_3 = 2
\]
- 特征值对应的特征向量：
\[
v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}, v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}, v_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}
\]
- 构造特征向量矩阵 \(P\) 和对角矩阵 \(D\)：
\[
P = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}, D = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}
\]
- 计算 \((\frac{1}{2}A)^{-1}\)：
\[
(\frac{1}{2}A)^{-1} = (2^{-1}A)^{-1} = (2^{-1}PDP^{-1})^{-1} = 2P^{-1}D^{-1}P
\]
- 特殊解法：根据矩阵 \(A\) 的结构特点，可以推导出 \((\frac{1}{2}A)^{-1}\) 的形式。
#### 2. 已知 \(|2A^*| = 64\)，求 \(A\)
**题目**: 已知 \(A\) 为四阶矩阵，且 \(|2A^*| = 64\)，求 \(A\)。
**解答**:
- **解法一**：利用行列式的性质。
\[
|2A^*| = 2^n|A^*| = 2^n|A|^{n-1} = 64
\]
- 因为 \(|2A^*| = 64\)，则 \(2^n|A|^{n-1} = 64\)。
- 对于 \(n = 4\)，有 \(2^4|A|^3 = 64\)。
- 解得 \(|A| = 1\) 或者 \(|A| = -1\)。
- 因此 \(A\) 的行列式为 \(1\) 或者 \(-1\)。
- **解法二**：直接利用行列式的定义。
\[
|2A^*| = 2^n|A^*| = 2^n|A|^{n-1} = 64
\]
- 类似于解法一，最终得出 \(|A| = 1\) 或者 \(|A| = -1\)。
#### 3. 已知 \(A \sim B\)，且 \(A\)、\(B\) 均为四阶矩阵，\(B^*\) 的特征值为 \(1, 1, 2, 4\)，求 \(\det(A^TA)\)
**题目**: 已知 \(A\) 与 \(B\) 相似，且均为四阶矩阵，\(B^*\) 的特征值为 \(1, 1, 2, 4\)，求 \(\det(A^TA)\)。
**解答**:
- 由于 \(A \sim B\)，则有 \(A = PBP^{-1}\)。
- 又因为 \(B^*\) 的特征值为 \(1, 1, 2, 4\)，那么 \(B\) 的特征值即为 \(1, 1, 2, 4\)。
- 则 \(\det(B) = 1 \times 1 \times 2 \times 4 = 8\)。
- 因为 \(A \sim B\)，所以 \(\det(A) = \det(B) = 8\)。
- 考虑到 \(\det(A^TA) = \det(A)^2\)，因此 \(\det(A^TA) = 8^2 = 64\)。
#### 4. 已知 \(A^*\)，求 \(A\)
**题目**: 已知 \(A^* = \begin{pmatrix} 10 & -5 & 1 \\ -8 & 4 & -1 \\ -7 & 4 & -1 \end{pmatrix}\)，求 \(A\)。
**解答**:
- **解法**：利用伴随矩阵与原矩阵的关系，\(A^* = \det(A) A^{-1}\)。
- 首先计算 \(A^*\) 的行列式 \(\det(A^*)\)。
- 利用初等行变换求解 \(A\) 的逆矩阵 \(A^{-1}\)。
- 计算 \(\det(A)\)。
- 最终得到 \(A\) 的表达式。
\[
A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 3 & -2 & -4 \\ 5 & 0 & -0 \end{pmatrix}
\]
#### 5. 求解 \((AB^{-1} + E)(BA^{-1} + E)^{-1}\)
**题目**: 已知 \(A\) 和 \(B\) 均为 \(N\) 阶矩阵，且满足 \(A + B = E\)（其中 \(A\) 是对称且可逆的矩阵），求 \((AB^{-1} + E)(BA^{-1} + E)^{-1}\)。
**解答**:
- **解法**：利用矩阵运算的基本性质。
- 由题意知 \(A + B = E\)。
- 则 \((AB^{-1} + E)(BA^{-1} + E)^{-1} = (AB^{-1} + E)((AB^{-1})^{-1} + E)^{-1}\)。
- 根据题目条件，可以进一步简化：
\[
(AB^{-1} + E)((AB^{-1})^{-1} + E)^{-1} = (AB^{-1} + E)(B^{-1}A + E)^{-1}
\]
- 再利用矩阵的逆和加法性质进行化简：
\[
(AB^{-1} + E)(B^{-1}A + E)^{-1} = (A + B)(B^{-1}A + E)^{-1}
\]
- 最终答案为 \(E\)，即单位矩阵。
以上是线性代数范例25题中的几个典型题目及其解答思路。这些题目覆盖了线性代数中的基本概念和运算技巧，有助于加深对线性代数理论的理解。
