### 数学考研大纲知识点解析
#### 一、概述
2013年的数学考研大纲针对的是全国硕士研究生入学考试中的数学部分，主要包括高等数学、线性代数、概率论与数理统计三个方向。这份大纲强调了对于考试内容的重点把握，并明确了考试的形式、题型比例等关键信息。
#### 二、考试内容与结构
1. **试卷结构**：
- 总分：150分；
- 考试时间：180分钟；
- 内容比例：高等数学约占60%，线性代数约占20%，概率论与数理统计约占20%；
- 题型比例：填空题与选择题约占40%，解答题（包括证明题）约占60%。
2. **考试内容**：
- **函数、极限、连续**：这部分内容涵盖了函数的基本概念、极限理论以及连续性的定义与性质等。
- **一元函数微分学**：涉及导数的概念、微分的性质、微分中值定理等内容。
#### 三、知识点详解
##### 1. 函数、极限与连续
- **函数的概念与表示法**：函数是一种特殊的对应关系，可以通过解析表达式、图像、列表等多种方式来表示。
- **函数的性质**：包括有界性、单调性、周期性、奇偶性等。例如，函数的有界性指的是存在一个正数M，使得对于所有自变量x，函数值f(x)的绝对值不超过M；奇偶性要求函数的定义域关于原点对称。
- **复合函数与反函数**：复合函数是两个或多个函数的组合，反函数则是原函数的逆运算。
- **基本初等函数**：如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数及其反函数等。
- **极限**：包括数列极限与函数极限，其中函数的左极限与右极限的概念尤为重要。
- **无穷小与无穷大**：无穷小是指随着自变量的变化趋于0的量，而无穷大则是指其绝对值可以无限增大的量。
- **函数连续性**：包括函数在某一点的连续性以及函数在整个定义域上的连续性。闭区间上连续函数具有重要的性质，如零点定理和介值定理等。
##### 2. 一元函数微分学
- **导数与微分**：导数是函数在某一点变化率的极限，而微分则是导数的一种表示形式。导数与微分之间的关系紧密，导数提供了函数变化趋势的信息。
- **导数的几何意义**：导数的几何意义体现在它是函数图像在某点处的切线斜率。
- **函数的可导性与连续性**：函数的可导性是其连续性的必要条件，但不是充分条件。
- **微分中值定理**：如罗尔定理、拉格朗日中值定理等，这些定理揭示了函数在一定条件下的性质。
- **洛必达法则**：用于求解未定式的极限，当分子和分母均为无穷大或无穷小时，可以通过洛必达法则求解。
- **函数的极值与最值**：通过分析导数来确定函数的极值点，并进一步找到函数的最大值和最小值。
- **函数图形的描绘**：根据函数的一阶导数和二阶导数来分析函数的单调性、凹凸性等特性，进而描绘出函数的大致图形。
2013年数学考研大纲中所涵盖的内容十分全面，不仅要求考生掌握基础的数学知识，还需要深入理解和运用相关的理论与方法解决实际问题。对于准备参加考试的学生来说，熟练掌握这些知识点是至关重要的。
