**有限差分时域法（Finite-Difference Time-Domain，简称FDTD）**是一种广泛应用于电磁场计算的数值分析方法，特别是在天线设计、微波工程、光子学和生物医学工程等领域。它基于Maxwell方程组的离散化，通过在时间和空间上进行差分来模拟电磁场的变化。
在Yee网格中，电磁场的分量被分配在不同的格点上，以确保旋度和散度运算的精确性。例如，在一个三维网格中，电场的y分量E_y位于(x, y+1/2, z+1/2)位置，而磁场的z分量H_z则位于(x+1/2, y, z)位置。这种网格布置使得FDTD算法能有效处理各种复杂结构中的电磁场问题。
FDTD算法的核心是更新电场和磁场分量的迭代公式。对于电场分量E_y在时间步n，空间点(1, 12, 6)处的更新公式可以表示为：
\[ E_{yn+1}(1, 12, 4) = \frac{1 - \sigma(1, 12, 4) \Delta t}{2 \epsilon(1, 12, 4)} \left[ 1 + \frac{\sigma(1, 12, 4) \Delta t}{2 \epsilon(1, 12, 4)} \right] E_{yn}(1, 12, 4) + \frac{\Delta t}{\epsilon(1, 12, 4) \left[ 1 + \frac{\sigma(1, 12, 4) \Delta t}{2 \epsilon(1, 12, 4)} \right]} \left[ H_{xn-1/2}(1, 1, 4) - H_{xn-1/2}(1, 0, 4) \Delta z - H_{zn-1/2}(1, 12, 9/2) + H_{zn-1/2}(1, 12, 7/2) \Delta x \right] \]
同样，磁场分量H_z在时间步(n+12)，空间点(12, 12, -3)处的更新公式可以推导出来，其中涉及到电导率ρ和磁导率μ的项。
对于单色平面波的FDTD模拟，其波矢量K与频率f的关系为：
\[ \mathbf{K} = \mathbf{x} \sin(30^\circ) \cos(60^\circ) + \mathbf{y} \sin(30^\circ) \sin(60^\circ) + \mathbf{z} \cos(30^\circ) \]
为了满足稳定性条件（Courant-Friedrichs-Lewy condition, CFL），时间步长Δt与空间步长(Δx, Δy, Δz)以及频率f之间的关系应满足：
\[ \Delta t \leq \frac{1}{\sqrt{\mu \epsilon}} \frac{1}{f} \]
在这个例子中，f=1.0GHz，可以计算出时间步长Δt，并由此确定平面波在Yee网格中的数值相速度V_p。数值相速度是通过比较电磁波在模拟中的传播速度与真空中光速的比例来得到的。
FDTD算法的优点在于它的灵活性和相对较低的计算复杂性，使其能够处理非均匀介质和复杂的几何形状。然而，它也有一些缺点，比如耗时较长，特别是在处理大尺度问题时，以及可能出现的数值色散和振荡。为了克服这些问题，可以采用各种优化技术，如完美匹配层（Perfectly Matched Layers, PML）来模拟开放边界条件，或者采用亚采样和并行计算来提高计算效率。
