数据结构之数组

### 数据结构之数组 #### 一、数组的基本概念与定义 **数组(Array)**是一种非常重要的基本数据结构之一，它由一系列相同数据类型的元素组成。数组中的每一个元素都可以通过索引或者下标来唯一标识。 ##### 定义 数组是n（n > 1）个相同数据类型的元素所构成的有限序列。它可以视为线性表的一种推广形式。在数组中，每个元素都有一个唯一的索引，这些索引通常被称为下标，并且每个元素都可以表示为一对值和下标的形式，例如： \[ A[c_1:d_1, c_2:d_2, \ldots, c_i:d_i, \ldots, c_n:d_n] \] 这里，\(c_i\) 和 \(d_i\) 分别代表了每个下标 \(j_i\) 的边界值，其中 \(c_i\) 是下界的值，而 \(d_i\) 是上界的值。 例如，一个二维数组 \(A_{m \times n}\) 可以被定义为行向量的一维数组： \[ A_{m \times n} = ((a_{11}, a_{12}, \ldots, a_{1n}), (a_{21}, a_{22}, \ldots, a_{2n}), \ldots, (a_{m1}, a_{m2}, \ldots, a_{mn})) \] 同样地，也可以定义为列向量的一维数组： \[ A_{m \times n} = ((a_{11}, a_{21}, \ldots, a_{m1}), (a_{12}, a_{22}, \ldots, a_{m2}), \ldots, (a_{1n}, a_{2n}, \ldots, a_{mn})) \] #### 二、数组的基本运算 数组支持多种基本运算，包括但不限于： - **初始化**：创建一个新的数组并赋予初始值。 - **销毁**：释放数组占用的内存空间。 - **存入元素**：将一个值存入数组中的指定位置。 - **获取元素**：根据下标获取数组中的某个元素。 - **插入和删除操作**：一般情况下，由于数组的静态特性，不支持直接插入或删除元素。若需要插入或删除元素，则通常需要重新调整数组的大小，这涉及到额外的时间和空间开销。 #### 三、数组的存储结构 数组有两种常见的存储方式：**行优先顺序**和**列优先顺序**。 - **行优先顺序**：按照行的顺序依次存储数组中的元素。这种方式适合于连续访问同一行中的元素。 - **列优先顺序**：按照列的顺序依次存储数组中的元素。这种方式适合于连续访问同一列中的元素。 #### 四、地址计算公式 地址计算公式对于理解和实现数组的存储非常重要。这里主要介绍两种类型的数组： - **二维数组**：假设每个数据元素占据 \(l\) 个存储单元，那么对于行优先顺序的存储方式，二维数组 \(A[m][n]\) 中元素 \(a_{ij}\) 的地址可以通过以下公式计算： \[ LOC(a_{ij}) = LOC(a_{00}) + (i \cdot n + j) \cdot l \] 对于列优先顺序，相应的公式为： \[ LOC(a_{ij}) = LOC(a_{00}) + (j \cdot m + i) \cdot l \] - **三维数组**：对于三维数组 \(A[c_1:d_1, c_2:d_2, c_3:d_3]\) 中元素 \(a_{kij}\) 的地址计算，可以将其视为一系列的二维数组。因此，其地址计算公式可以表示为： \[ LOC(a_{kij}) = LOC(a_{c_1c_2c_3}) + [(d_3 - c_3 + 1) \cdot (d_2 - c_2 + 1) \cdot (k - c_1) + (d_3 - c_3 + 1) \cdot (i - c_2) + (j - c_3)] \cdot l \] #### 五、特殊矩阵的存储 特殊矩阵主要包括**特殊矩阵**和**稀疏矩阵**两大类。 - **特殊矩阵**：这类矩阵具有特殊的结构特征，如三角矩阵、对角矩阵等，可以利用这些特征来优化存储空间的使用。 - **稀疏矩阵**：稀疏矩阵是指大部分元素都是零的矩阵。对于稀疏矩阵，可以通过压缩存储的方式来减少存储空间的使用，比如使用三元组表存储非零元素的位置及其值。 总结而言，数组是一种非常基础且强大的数据结构，广泛应用于各种算法设计和问题解决过程中。理解数组的基本概念、存储方式以及相关的运算操作，对于掌握更高级的数据结构和算法至关重要。