第二章 需求函数
2.1 效用最大化二阶条件
效用最大化模型为：
max
x
u(x)
s.t. px = w; x ≥ 0
(2.1)
在两种商品的情况下，问题式 (2.1) 变为
max
x
u(x
1
, x
2
)
s.t. p
1
x
1
+ p
2
x
2
= w; x
1
, x
2
≥ 0
(2.2)
将约束条件 p
1
x
1
+ p
2
x
2
= w 变为 x
2
=
w
p
2
−
p
1
p
2
x
1
，并将其代入效用函数，则问
题式 (2.2) 变为
max u(x
1
,
w
p
2
−
p
1
p
2
x
1
)
记 F(x
1
) = u(x
1
,
w
p
2
−
p
1
p
2
x
1
)，则一阶条件为
d F(x
1
)
dx
1
= u
1
−
p
1
p
2
u
2
= 0
其中 u
i
为 u 关于第 i 个变量的偏导数，i = 1, 2。
一阶条件可写为
p
1
p
2
=
u
1
u
2
(2.3)
根据微分理论，二阶条件为
d
2
F(x
1
)
dx
2
1
< 0
即有
d
2
F(x
1
)
dx
2
1
= u
11
+ u
12
(
− p
1
p
2
)
−
p
1
p
2
[
u
21
+ u
22
(
− p
1
p
2
)]
< 0 (2.4)
其中 u
i j
为 u
i
关于第 j 个变量的偏导数，即效用函数 u 关于第 i 个变量和第 j
个变量的二阶偏导数，i, j = 1, 2。当 u 的二阶偏导数连续时，有 u
12
= u
21
，这
时式 (2.4) 可写为
u
11
− 2
p
1
p
2
u
12
+
(
p
1
p
2
)
2
u
22
=
1
p
2
2
[p
2
2
u
11
− 2p
1
p
2
u
12
+ p
2
1
u
22
] < 0
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