Foundations of Differential Geometry

### 差分几何基础 #### 一、导言与背景 《差分几何基础》这份文档是由彼得·米赫尔撰写的，旨在介绍差分几何的基本概念和技术。该文稿最初是在维也纳大学讲授的一门课程“Differentialgeometrie und Lie Gruppen”的讲义，它包含了对微分流形、向量场、李群等核心概念的深入探讨。作者建议读者在阅读本课程之前，最好具备一定的数学背景知识，特别是关于微积分和线性代数的基础。 #### 二、微分流形 微分流形是差分几何中最基本的对象之一。这部分内容首先定义了流形的概念，并给出了如何将流形上的局部性质推广到全局的理论框架。作者在这里给出了流形的完整定义，并逐步介绍了与流形相关的各种概念，如切空间、余切空间、流形的拓扑结构等。此外，还详细解释了流形的分类方法以及它们之间的关系。 #### 三、浸入与下映射 这部分内容进一步探讨了流形之间的映射类型。具体而言，讨论了浸入和下映射的概念及其性质。浸入是指一种特殊的连续映射，它使得原流形的拓扑结构能够在目标流形上保持不变；而下映射则是指一个连续且开映射，它使得流形之间可以建立联系而不改变它们的基本属性。这些概念对于理解流形之间的相互作用非常重要。 #### 四、向量场与流动 向量场是流形上的矢量值函数，它们在物理和工程学中有广泛的应用。这部分内容介绍了向量场的基本概念，包括向量场的定义、流形上的向量场运算等。特别地，还详细讲解了向量场的流动（即向量场在流形上生成的曲线族）以及流动与向量场之间的关系。这一章节不仅涉及理论分析，还包含了大量的实例来帮助读者更好地理解概念。 #### 五、李群 I 李群是一类具有群结构的流形，在现代数学和物理学中扮演着极其重要的角色。这部分内容首先介绍了李群的基本定义和性质，包括群的左不变和右不变向量场、李代数等概念。通过对这些基本概念的理解，读者能够建立起李群与流形之间深刻联系的基础。 #### 六、李群 II：李子群与齐次空间 继续探讨李群的性质，这部分内容主要关注李群的子群以及由这些子群产生的齐次空间。通过研究李子群，我们可以更深入地理解李群的内部结构。而齐次空间的概念则为研究特定类型的流形提供了工具。这一章节不仅扩展了读者对于李群的认识，而且还提供了一些具体的例子来说明这些抽象概念的实际应用。 #### 七、向量丛 向量丛是另一个重要的概念，它是流形上一系列向量空间的集合，这些向量空间之间满足一定的连续性和光滑性条件。这部分内容首先定义了向量丛，并讨论了向量丛的各种性质，如局部同构性、向量丛的截面等。向量丛在理论物理中有着广泛的应用，尤其是在量子场论等领域。 #### 八、微分形式 微分形式是流形上的一种特殊类型的张量场，它们在微分几何中有广泛的应用。这部分内容详细介绍了微分形式的基本概念，包括外积、楔积等运算，以及微分形式的外微分等概念。通过这些概念的学习，读者可以更好地理解流形上的积分理论。 #### 九、流形上的积分 这部分内容探讨了在流形上进行积分的方法和技术。它不仅介绍了如何在流形上定义积分，而且还讨论了积分的基本性质以及积分与微分形式之间的关系。这一章对于理解流形上的微积分理论至关重要。 #### 十、德拉姆上同调 德拉姆上同调是利用微分形式来研究流形拓扑性质的一种方法。这部分内容介绍了德拉姆上同调的基本概念，包括链复合体、上同调群等，并讨论了它们与流形拓扑结构之间的联系。德拉姆上同调在研究流形的拓扑不变量时非常有用。 #### 十一、带紧支集的上同调与庞加莱对偶性 这部分内容进一步扩展了上同调理论，探讨了带紧支集的上同调以及庞加莱对偶性的概念。带紧支集的上同调允许我们在某些条件下更好地理解流形的拓扑结构。庞加莱对偶性则是流形上同调群与同伦群之间的一种自然对应关系，它是拓扑学中的一个重要结果。 #### 十二、紧凑流形的德拉姆上同调 这部分内容专注于研究紧凑流形的德拉姆上同调。紧凑流形在数学和物理学中都有很多应用，尤其是当涉及到有限体积或闭合系统时。这部分内容详细讨论了紧凑流形的特点以及它们的上同调理论。 #### 十三、李群 III：李群上的分析 这部分内容继续探讨李群的高级话题，特别是与李群相关的分析方法。这包括李群上的积分理论、哈罗德公式等高级主题。通过这些内容的学习，读者可以更加深入地了解李群与分析学之间的联系。 #### 十四、微分形式上的导数与弗洛利切-尼亨豪斯括号 这部分内容讨论了微分形式上的导数运算以及弗洛利切-尼亨豪斯括号。这些概念对于理解流形上的微分结构至关重要，特别是在研究流形的几何性质时。 #### 十五、纤维丛与联络 这部分内容介绍了纤维丛的基本概念及其在微分几何中的应用。纤维丛是一种特殊的向量丛，它们在物理和工程学中有着广泛的应用。联络的概念则用于描述纤维丛上的平移不变性。这部分内容不仅提供了理论框架，而且还包含了许多实际例子来帮助读者理解这些抽象概念。 #### 十六、主纤维丛与G-丛 这部分内容继续探讨纤维丛的高级主题，重点关注主纤维丛及其与G-丛的关系。主纤维丛是一种特殊的纤维丛，其中的纤维是特定群的副本。通过对主纤维丛的研究，我们能够更好地理解纤维丛之间的结构和联系。 #### 十七、主纤维丛与诱导联络 这部分内容进一步探讨了主纤维丛的性质，特别是关于联络的构造。通过引入诱导联络的概念，我们可以更深入地理解主纤维丛与其它纤维丛之间的关系。这部分内容对于研究纤维丛的几何结构非常有帮助。 通过以上内容的介绍，可以看出《差分几何基础》这门课程涵盖了差分几何的许多关键概念和技术，不仅适合于数学专业的学生学习，对于物理、工程学等领域的研究者来说也非常有价值。通过系统学习这些概念，读者能够建立起坚实的理论基础，为今后在相关领域的研究工作打下良好的基础。