非线性光学是光学领域的一个分支，它研究在强光场作用下，介质的光学性质如何随着光强的变化而变化，从而产生一系列非线性效应。标题中提到的二次非线性极化率是描述介质对入射光响应的一个关键参数，它是研究非线性光学效应的基础。描述中提到的关于介质参数的函数依赖性，内部对称性以及数值计算，都是非线性光学研究的重要内容。
在非线性光学中，二次非线性效应包括了二次谐波产生、和频产生以及差频产生等过程。二次谐波产生（Second Harmonic Generation, SHG）是二次非线性效应中最简单且应用最广泛的一种形式，它涉及到将频率为ω的入射光转换成频率为2ω的光。而三次非线性效应中包括了三次谐波产生（Third Harmonic Generation, THG），这是将频率为ω的入射光转换成频率为3ω的光的过程。
在描述中提到的量子力学理论框架下，非线性光学极化率可以通过量子力学的基本定律获得明确的表达式。这意味着介质参数，如偶极跃迁矩和原子能级，都会对非线性光学响应产生影响。例如，在原子蒸汽中，由于能级锐利，通过共振增强，可以得到较大的非线性光学系数。如果一个实际原子能级与一个虚拟能级非常接近，那么耦合行为特别强，导致光学极化率很大。
关于二次非线性极化率的内部对称性也是研究的一个重要方面。由于晶体的对称性，它们只允许某些特定的非线性过程发生。这需要通过晶体的点群对称性来分析，以确定哪些非线性系数非零，以及它们如何依赖于传播方向和偏振。
数值计算方面，非线性光学极化率的精确数值通常需要实验数据来确定。实验中可以通过测量非线性光学过程的效率来反推非线性极化率。在理论计算中，可以通过量子力学微扰理论来推导非共振响应的准确表达式。
进一步的，文档内容提到了薛定谔方程在计算非线性光学极化率中的应用。量子力学微扰理论以薛定谔方程为基础，为非共振响应提供了准确的预测，但对于近共振激发情况下的弛豫过程，则需要更复杂的密度矩阵形式来描述，因为传统微扰理论无法准确描述这些过程。
电偶极矩算符是研究光与物质相互作用的重要物理量。通过将电场与电偶极矩算符的耦合，可以得到电磁场作用下的极化强度。非线性光学极化率的计算涉及对哈密顿量进行微扰展开，得到相应的本征值方程的解，这些解构成了完整的正交归一基。
非线性光学研究的深入理解需要对介质参数、对称性以及量子力学原理有深刻的认识，并且需要通过实验数据和理论计算相结合的方法来探究。通过对非线性光学极化率的研究，可以实现对光频率的转换和调控，进而开发出一系列创新的光学器件和应用，如激光调制、光通信、生物成像等领域。
