信号分析与处理课后习题解答

### 信号分析与处理课后习题解答 #### 习题1.1 信号分类 题目要求判断四个信号是否为连续时间信号或离散时间信号，并进一步区分它们是否为模拟信号或数字信号。 1. **第1个信号**：这是一个时间连续函数值连续的信号，因此它是连续时间信号，同时也是模拟信号。 2. **第2个信号**：虽然时间连续，但是函数值是离散的，这意味着它虽然是连续时间信号，但不属于模拟信号。 3. **第3个信号**：由于时间离散且函数值也经过了量化处理，因此它是离散时间信号，同时也是一个数字信号。 4. **第4个信号**：同样是时间离散信号，但由于函数值未经过量化，所以它虽然是离散时间信号，但不被视为数字信号。 #### 习题1-2 信号类型与周期性 本题需要判断各个信号属于能量信号还是功率信号，以及是否为周期信号，如果是周期信号还需要计算其周期T。 1. **第1个信号**：\(e^{-at}\sin(\omega t)\) \((t \geq 0)\) - **周期性**：该信号仅在\(t > 0\)时存在，因此是非周期信号。 - **能量/功率**：当\(a > 0\)时，该信号表现为指数衰减信号，因此可以判定为能量信号。 - **能量计算**： \[ W = \int_{0}^{\infty} |e^{-at}\sin(\omega t)|^2 dt \] \[ = \int_{0}^{\infty} e^{-2at} (\sin^2(\omega t)) dt \] \[ = \int_{0}^{\infty} e^{-2at} \left[\frac{1 - \cos(2\omega t)}{2}\right] dt \] \[ = \frac{1}{2}\int_{0}^{\infty} e^{-2at} dt - \frac{1}{2}\int_{0}^{\infty} e^{-2at}\cos(2\omega t) dt \] \[ = \frac{1}{2}\left[\frac{1}{2a}\right] - \frac{1}{2}\left[\frac{a + j\omega}{4a^2 + 4\omega^2}\right] \] \[ = \frac{1}{4a} - \frac{a + j\omega}{8a^2 + 8\omega^2} \] 因此，当\(a > 0\)时，该信号的能量为有限值，故为能量信号。 2. **第2个信号**：\(\cos(10t) + \cos(30t)\) - **周期性**：该信号包含两个不同频率的余弦分量，周期分别为\(\frac{\pi}{5}\)和\(\frac{\pi}{15}\)，共同周期为\(\frac{\pi}{5}\)。 - **能量/功率**：因为信号在时间上无限延续，所以它是功率信号。 3. **第3个信号**：\(\cos(2t) + \sin(t)\) - **周期性**：该信号为周期信号，周期为\(2\pi\)。 - **能量/功率**：同样地，该信号无限延伸，因此是功率信号。 4. **第4个信号**：\(5\sin(8t)\) - **周期性**：周期为\(\frac{\pi}{4}\)。 - **能量/功率**：这是一个有限幅值的周期信号，因此也是功率信号。 5. **第5个信号**：\(5s\)（假设这是一个常数值） - **周期性**：该信号没有周期。 - **能量/功率**：这是一个有限幅值的信号，但在无限时间范围内能量无限，因此不能简单地归类为能量信号或功率信号。 6. **第6个信号**：\(x[n] = \begin{cases} 1 & n \geq 0 \\ 0 & n < 0 \end{cases}\) - **周期性**：非周期信号。 - **能量/功率**：这是一个离散时间信号，对于离散信号，我们通常讨论序列的能量而非功率。该序列在\(n \geq 0\)时始终为1，因此序列的能量为无限大。 通过以上分析可以看出，这些习题主要考察了信号的基本分类、周期性和能量/功率的判断方法，这对于理解信号的基本属性非常重要。