利用MATLAB和行列式计算超晶格束缚态能量本征值的一种简捷方法.pdf

在探讨如何利用MATLAB软件和行列式计算超晶格中束缚态能量本征值的问题之前，首先需要明确超晶格、束缚态、能量本征值等专业概念。超晶格是由不同半导体材料交替堆叠形成的结构，它具有人工设计的周期性势场，常用于量子阱器件的设计，如用于红外探测器。量子阱器件的设计需要准确计算其本征能量值，这涉及到解决一系列的一维薛定谔方程。 薛定谔方程是量子力学中描述微观粒子状态的基本方程，其一维定态形式可以用来描述超晶格中粒子的行为。在超晶格的每个势阱和势垒界面处，波函数及其导数需要保持连续，这是物理上自然的要求。根据这一连续性条件，我们可以将波函数在界面两侧展开为一个线性方程组，该方程组能够以矩阵的形式来表达。 当寻找超晶格中束缚态的能量本征值时，重要的一个条件是所计算出的波函数满足薛定谔方程。为了计算这些能量本征值，需将方程组的系数行列式设定为零，并在能量区间内进行逐点扫描。计算出每个能量值对应的系数行列式值，其中行列式值等于零的点就是所求的能量本征值。 MATLAB是一款广泛应用于科学计算领域的数学软件，它提供了丰富的矩阵运算功能。在本论文中，作者提到的方法利用了MATLAB的矩阵行列式计算函数，来进行上述的逐点扫描计算过程。与传统的递推法、转移矩阵法等其他方法相比，这种方法由于不需要复杂的编程，因而概念简单，操作方便，并且实用性强。 文章中提到的逐点扫描法实际上是一种数值解法，它适用于无法找到解析解的复杂问题。对于一维薛定谔方程的数值解，MATLAB可以非常高效地处理矩阵运算，从而有效地计算出系数行列式值为零的那些能量点，即能量本征值。 在具体实现上，编写MATLAB程序时，需要首先根据超晶格的结构设定势阱和势垒的宽度，然后构造出描述波函数展开的矩阵方程。通过在一定能量区间内逐点计算系数行列式值，并通过判断行列式是否为零来确定能量本征值。MATLAB强大的矩阵处理能力和内置函数使得这一过程得以简化。 此外，文章中还提到超晶格的周期性结构，其周期为势阱宽度a和势垒宽度b之和。这种周期性的特征使得超晶格中的电子行为可以用量子力学的周期性边界条件来描述。当电子波函数在超晶格周期边界处同样满足连续性条件时，就可以形成布里渊区和能带结构。 总结起来，本文介绍了一种新的计算超晶格中束缚态能量本征值的数值方法。利用MATLAB软件进行矩阵运算，该方法简化了求解过程，避免了复杂的编程工作，实现了对超晶格量子阱器件设计中能量本征值的快速计算。这对于器件设计和相关物理问题的研究都具有重要的实际意义。