在控制学科中，倒立摆系统是一个具有非线性特性的控制系统，难以控制，阶次高，变量较多，变量之间的关联性较强，且稳定性较差。这种系统从19世纪中期开始就被广泛用作控制领域的研究对象。倒立摆的概念可以用来解释控制学科中一些难以理解的概念。此外，对倒立摆摆杆控制算法的研究，还可以迁移到行走机器人的平衡性控制、发射火箭时其竖直度的控制以及其他常见的工业控制领域。
本文旨在研究环形二级倒立摆，基于拉格朗日方程对二级摆建立数学模型，并通过MATLAB进行线性二次调节器（LQR）控制算法的仿真。结果表明，LQR控制理论适用于环形二级倒立摆的控制。
环形二级倒立摆的控制系统研究可以分为两部分：将摆杆甩起的控制和在竖直向上的位置的稳定控制。对于二级摆，其控制相比于一级摆更加复杂多变。二级摆的稳摆控制通过电机直接驱动与之连接的水平连杆，带动与之相连的垂直面内的中间连杆，从而控制连在中间连杆末端的摆杆垂直稳定在竖直向上的位置。这类系统通常作为欠驱动系统，稳摆控制的难度较大。
在建模方面，针对实验室现有的倒立摆试验系统，我们抓住建模的主要影响因素，在某些假设下，将环形二级倒立摆简化为由一个水平杆、两个竖直方向的摆杆以及连接各独立部件的两个质量块组成的系统。与以往二级摆的简化建模相比，本文更注重编码器及连接质量块的重心问题，使所建模型更贴近实物。
系统的动能主要涉及五个部分：水平及竖直方向上的三个杆件、用于测量竖直中间杆角度的编码器、用于测量上摆杆角度的编码器。系统势能的计算选择水平杆中心所在面为基准势能面，总势能由编码器和各个杆件的重力势能组成。
通过MATLAB平台加入LQR控制器进行的仿真实验，并结合实际的环形二级倒立摆实时控制台进行实验验证，分析了LQR控制器应用于环形二级倒立摆的控制效果。在通过实验数据分析之后，我们可以得出结论，LQR控制理论对于环形二级倒立摆的控制是适用的。这一结论的得出，不仅加深了我们对LQR控制理论在多变量、非线性系统中应用的理解，也为二级倒立摆的控制研究提供了新的理论支持和技术参考。
