### 线性变换（Linear Transformation）
#### 定义
线性变换是数学中的一个重要概念，在线性代数中有着广泛的应用。一个从向量空间 \(V_1\) 到另一个向量空间 \(V_2\) 的变换 \(T: V_1 \rightarrow V_2\) 被称为线性变换（或线性算子、线性映射等），如果它满足以下两个条件：
1. **加法性质**：对于所有 \(V_1\) 中的向量 \(\vec{u}, \vec{v}\)，有 \(T(\vec{u} + \vec{v}) = T\vec{u} + T\vec{v}\)。
2. **数乘性质**：对于所有 \(V_1\) 中的向量 \(\vec{u}\) 和所有标量 \(c\)，有 \(T(c\vec{u}) = cT\vec{u}\)。
这两个条件可以合并为一个等价定义：一个变换 \(T: V_1 \rightarrow V_2\) 是线性变换当且仅当对于所有 \(V_1\) 中的向量 \(\vec{u}, \vec{v}\) 和所有标量 \(a, b\)，有 \(T(a\vec{u} + b\vec{v}) = aT\vec{u} + bT\vec{v}\)。
#### 基本事实
- 如果 \(T\) 是一个线性变换，则 \(T(\vec{0})\) 必须等于 \(\vec{0}\)（零向量）。这是因为根据线性变换的定义，我们有 \(T(\vec{0}) = T(0\vec{u}) = 0T(\vec{u}) = \vec{0}\)。
- 任何从 \(R^n\) 到 \(R^m\) 的线性变换 \(T\) 都可以通过一个 \(m \times n\) 的矩阵 \(A\) 来表示，即对于 \(R^n\) 中的每一个向量 \(\vec{u}\)，都有 \(T(\vec{u}) = A\vec{u}\)。
#### 示例
下面列举了一些常见的线性变换实例：
1. **定义于 \(R^5\) 到 \(R^2\) 上的线性变换**：
\[
T
\begin{bmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3 \\
x_4 \\
x_5
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
2x_2 - 5x_3 + 7x_4 + 6x_5 \\
-3x_1 + 4x_2 + 8x_3 - x_4 + x_5
\end{bmatrix}
\]
或者等价地，
\[
T
\begin{bmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3 \\
x_4 \\
x_5
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
0 & 2 & -5 & 7 & 6 \\
-3 & 4 & 8 & -1 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3 \\
x_4 \\
x_5
\end{bmatrix}
\]
2. **扩展（放大）变换**：在 \(R^3\) 上通过因子 5 进行扩展，对应的矩阵为
\[
\begin{bmatrix}
5 & 0 & 0 \\
0 & 5 & 0 \\
0 & 0 & 5
\end{bmatrix}
\]
3. **收缩变换**：在 \(R^2\) 上通过因子 1/3 进行收缩，对应的矩阵为
\[
\begin{bmatrix}
1/3 & 0 \\
0 & 1/3
\end{bmatrix}
\]
4. **特定方向的缩放变换**：在 \(R^2\) 上沿一个特定方向进行缩放，对应的矩阵为
\[
\begin{bmatrix}
5 & 0 \\
0 & 1
\end{bmatrix}
\]
5. **旋转变换**：在 \(R^2\) 上绕原点逆时针旋转 \(\pi/3\) 弧度，对应的矩阵为
\[
\begin{bmatrix}
\cos(\pi/3) & -\sin(\pi/3) \\
\sin(\pi/3) & \cos(\pi/3)
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1/2 & -\sqrt{3}/2 \\
\sqrt{3}/2 & 1/2
\end{bmatrix}
\]
6. **反射变换**：在 \(R^2\) 上关于 \(x_2\) 轴的反射，对应的矩阵为
\[
\begin{bmatrix}
-1 & 0 \\
0 & 1
\end{bmatrix}
\]
7. **正交投影变换**：在 \(R^3\) 上到 \(x_1x_3\) 平面的正交投影，对应的矩阵为
\[
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\]
8. **正交投影变换**：在 \(R^3\) 上到平面 \(x_1 - 2x_2 + 2x_3 = 0\) 的正交投影，对应的矩阵为
\[
\frac{1}{9}
\begin{bmatrix}
8 & 2 & -2 \\
2 & 5 & 4 \\
-2 & 4 & -5
\end{bmatrix}
\]
9. **水平剪切变换**：在 \(R^2\) 上的水平剪切，对应的矩阵为
\[
\begin{bmatrix}
1 & 3 \\
0 & 1
\end{bmatrix}
\]
10. **积分变换**：定义于函数空间 \(C[-\pi, \pi]\) 到实数集 \(R\) 上的线性变换 \(Tf = \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(3x) dx\)。
11. **导数变换**：定义于一次连续可导函数空间 \(C^1[0,1]\) 到实数集 \(R\) 上的线性变换 \(Tf = f'(1) + 3f(1)\)。
12. **微分方程变换**：定义于二次连续可导函数空间 \(C^2[0,3]\) 到连续函数空间 \(C[0,3]\) 上的线性变换 \(Tf(x) = -x^2f''(x) - 3xf'(x) + e^xf(x)\)。
#### 非线性变换示例
下面是一些非线性变换的例子：
1. **包含常数项的变换**：定义于 \(R^5\) 到 \(R^2\) 上的变换
\[
T
\begin{bmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3 \\
x_4 \\
x_5
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
2x_2 - 5x_3 + 7x_4 + 6x_5 + 777 \\
-3x_1 + 4x_2 + 8x_3 - x_4 + x_5
\end{bmatrix}
\]
因为包含了与输入向量无关的常数项 777，所以该变换不是线性的。
2. **平方变换**：定义于 \(R\) 到 \(R\) 上的变换 \(T(x) = x^2\)，这个变换不满足线性变换的数乘性质。
3. **包含三角函数的变换**：定义于 \(R^3\) 到 \(R^2\) 上的变换
\[
T
\begin{bmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
x_1 + 2\sin(x_2) - 4x_3 \\
x_2 + 2x_3
\end{bmatrix}
\]
因为包含了非线性的 \(\sin(x_2)\)，所以该变换不是线性的。
4. **条件变换**：定义于 \(R^2\) 到 \(R\) 上的变换
\[
T
\begin{bmatrix}
x_1 \\
x_2
\end{bmatrix}
=
\begin{cases}
2x_1 - 3x_2 & \text{if } x_1 \geq 0 \\
4x_1 - 3x_2 & \text{if } x_1 < 0
\end{cases}
\]
由于其定义依赖于输入向量的分段，故该变换不是线性的。
通过这些例子，我们可以更深入地理解线性变换的概念及其应用。
