N’th degree equations became of very great interest to number theorists by the announcement of Pierre Fermat in about 1637 that he proved
《广义佩尔方程》
在数学领域，特别是数论中，高次方程一直备受关注。这一兴趣可以追溯到17世纪，皮埃尔·费马（Pierre Fermat）于约1637年宣布他证明了一个惊人的定理，即当n大于或等于3时，方程zn = xn + yn没有正整数解。这个声明后来被数学家们称为费马最后定理（FLT），历经三百多年，直到最近安德鲁·怀尔斯（Andrew Wiles）给出了证明。
然而，除了费马最后定理，还有其他类型的丢番图方程对数论的发展起到了重要作用。其中一种被称为佩尔方程，以数学家约翰·佩尔（John Pell）命名。尽管实际上这个方程最早是由费马提出的，所以也被称为费马-佩尔方程，但至今仍普遍称为佩尔方程。1667年，布伦克勋爵（Lord Brouncker）提出了求解佩尔方程的首个系统方法，而约瑟夫·拉格朗日（Joseph Lagrange）在1766年给出了关于佩尔方程的第一个正式证明。
在20世纪20年代，B. Delaunay和T. Nagell进一步证明了当d为立方自由数时，方程x3 - dy3 = 1最多只有一个非平凡的正整数解。1969年，L. J. Mordell在他的经典著作《丢番图方程》中在第220页和定理13中证明了关于特定类型上述方程的结果。
广义佩尔方程的形式是zn - Axn = 1，其中A属于自然数且A>1。以下定理表明，对于所有n∈N且n≥⌈log(A+1) / log(1.5)⌉，这个方程在自然数集合中没有解。
证明：如果zn - Axn = 1，则有zn = Axn + 1，进一步推导得z = n√Axn + 1 / xn。考虑丢番图不等式，我们可以分析方程两边的指数，通过比较n和log(A+1) / log(1.5)的关系，可以得出n必须满足的条件，而这个条件在上述范围内无法满足，从而证明了方程无解。
佩尔方程的研究不仅限于其基本形式，它还扩展到了更广泛的一类方程，即广义佩尔方程。这类方程的研究涉及到数论的深奥理论，包括数的性质、无穷级数、同余方程以及模运算等。解决这些方程通常需要高级的数论工具，如模形式、椭圆曲线和伽罗华理论等。
广义佩尔方程及其解法在数论中占有重要地位，它们不仅揭示了整数的性质，还推动了数学理论的深化和发展。从费马到现代数学家的工作，这些方程一直是数学探索的焦点，不断激发着新的理论和方法的诞生。
