滤波器设计

### 滤波器设计——双线性变换法设计数字低通滤波器 #### 设计背景及目标 本设计报告旨在深入理解双线性变换法设计无限脉冲响应（IIR）数字低通滤波器的基本方法，并利用MATLAB进行实际操作。通过本次课程设计，学生将能够掌握以下技能： 1. **理论基础**：了解双线性变换法的基本原理及其在设计IIR滤波器中的应用。 2. **实践操作**：熟悉MATLAB中用于双线性变换法的相关子函数。 3. **实际案例**：掌握如何使用双线性变换法设计满足特定技术指标的数字低通滤波器。 #### 技术指标与设计要求 本设计的目标是基于双线性变换法设计一个满足以下技术指标的IIR数字低通滤波器： - **通带截止频率**：ωp = 0.25π - **通带最大衰减**：Rp = 1dB - **阻带最小衰减**：As = 15dB - **阻带截止频率**：ωs = 0.4π - **滤波器采样频率**：Fs = 100Hz #### 设计原理与步骤 ##### 原理概述 数字滤波器是一种对离散时间信号进行处理的装置，根据其输入输出信号的形式，可以分为低通、高通、带通和带阻等多种类型。其中，IIR滤波器因其无限长的脉冲响应而被广泛应用于各种场景。 双线性变换法是一种将模拟滤波器转换为数字滤波器的有效方法，它通过非线性频率映射将模拟滤波器的传递函数H(s)转换为数字滤波器的传递函数H(z)。这种方法的优点是可以避免频谱混叠，并且能够很好地保持模拟滤波器的频率特性。 ##### 设计步骤 1. **技术指标转换**：首先需要将数字滤波器的技术指标转换为模拟滤波器的技术指标。例如，将通带截止频率ωp转换为相应的模拟频率Ωp。 - **转换公式**：Ωp = ωp / (Fs/2) 2. **模拟滤波器设计**：根据转换后的技术指标设计模拟低通滤波器H(s)。这里可以使用经典的模拟滤波器原型，如Butterworth滤波器或Chebyshev滤波器等。 3. **数字滤波器转换**：通过双线性变换将模拟滤波器H(s)转换为数字滤波器H(z)。 - **变换公式**：\[ z = \frac{1 + \alpha s}{1 - \alpha s} \] 其中，α = (2/T) \* tan(ωc \* T/2)，T为采样周期，ωc为归一化角频率。 - 通过该变换，模拟滤波器的S平面上的点被映射到了数字滤波器的Z平面上的点，实现了从模拟到数字的转换。 4. **验证与优化**：利用MATLAB进行仿真验证，检查设计的滤波器是否满足预定的技术指标。如果不满足，则需调整模拟滤波器的设计参数，重复上述步骤直到满足要求。 #### 设计方案比较 在设计IIR数字滤波器时，常见的方法有两种：双线性变换法和脉冲响应不变法。 - **双线性变换法**：优点是能够较好地保持模拟滤波器的频率特性，且避免了频谱混叠的问题。缺点是存在一定的频率扭曲。 - **脉冲响应不变法**：优点是在低频区域能够较好地保持模拟滤波器的特性，但在高频区域可能会出现频谱混叠。 考虑到本次设计的具体要求，选择双线性变换法作为设计方案，因为它能够较好地保持模拟滤波器的频率特性，并避免了频谱混叠的问题。 #### 实验结果与分析 通过MATLAB软件进行仿真，可以直观地观察到设计的数字低通滤波器的频率响应特性，并通过调整模拟滤波器的设计参数来优化滤波器性能，最终确保滤波器的性能满足给定的技术指标。 #### 结论 本课程设计通过对双线性变换法设计IIR数字低通滤波器的学习与实践，不仅加深了对双线性变换法的理解，还掌握了利用MATLAB进行滤波器设计的方法。通过具体的案例分析，我们验证了所设计的滤波器能够满足预定的技术指标，并且具备良好的频率响应特性。这一过程不仅巩固了理论知识，还提高了实际操作能力。