并查集（Disjoint-set）算法，又称为分离连接树，是数据结构中的一种重要算法，主要用于处理一些不相交集合的合并与查询问题。在ACM（国际大学生程序设计竞赛）中，它常被用来解决一些组合优化、图论等相关问题。本节将详细介绍并查集的基本概念、核心操作及其实现方式，尤其是Java版的实现。
**1. 并查集概述**
并查集是一种无根树的数据结构，用于存储一组互不相交的集合，每个集合由一个根节点代表。并查集的主要操作包括查找（Find）和合并（Union）。查找操作确定元素属于哪个集合，而合并操作将两个集合合并为一个。
**2. 基本操作**
- **Find(x)**：确定元素x所属的集合的根节点。为了提高效率，通常采用路径压缩（Path Compression）策略，即每次查找过程中，都将x到根节点的路径上的所有节点直接链接到根节点。
- **Union(x, y)**：将包含x和y的集合合并。为了防止树的不平衡，可以采用“按秩合并”（Union by Rank）策略，将秩小的集合并入秩大的集合，以保持树的高度尽可能小。
**3. Java实现**
在Java中，我们可以创建一个`Djset`类来实现并查集。这个类通常包含以下成员变量和方法：
- **成员变量**：
- `parent[]`：表示每个元素的父节点，初始化时，每个元素都是自己的父节点，即`parent[i] = i`。
- `rank[]`：记录每个集合的秩，初始时所有集合的秩均为0。
- **方法**：
- `find(int x)`：实现查找操作，返回x所在集合的根节点。同时进行路径压缩。
- `union(int x, int y)`：实现合并操作，根据按秩合并策略合并两个集合。
- `connected(int x, int y)`：判断x和y是否属于同一集合，通过比较它们的根节点是否相同。
下面是一个简单的Java实现：
```java
public class Djset {
private int[] parent;
private int[] rank;
public Djset(int n) {
parent = new int[n];
rank = new int[n];
for (int i = 0; i < n; i++) {
parent[i] = i;
rank[i] = 0;
}
}
public int find(int x) {
if (parent[x] != x) {
parent[x] = find(parent[x]); // 路径压缩
}
return parent[x];
}
public void union(int x, int y) {
int rootX = find(x);
int rootY = find(y);
if (rootX != rootY) {
if (rank[rootX] < rank[rootY]) {
parent[rootX] = rootY;
} else if (rank[rootX] > rank[rootY]) {
parent[rootY] = rootX;
} else {
parent[rootY] = rootX;
rank[rootX]++;
}
}
}
public boolean connected(int x, int y) {
return find(x) == find(y);
}
}
```
**4. 应用场景**
并查集在很多实际问题中都有应用，如：
- **网络连通性**：判断两台计算机是否能互相通信。
- **社交网络**：找出好友关系中的社群。
- **图论问题**：计算连通分量，判断有向图是否存在环。
- **最小生成树**：Prim或Kruskal算法中用于避免形成环路。
熟练掌握并查集算法及其Java实现对于解决ACM竞赛中的相关问题至关重要，它能帮助我们高效地处理集合的合并和查询，是算法竞赛和实际编程中不可或缺的工具。
