### 三角形构网及其Delaunay三角剖分详解
#### 一、Delaunay三角剖分概述
Delaunay三角剖分（Delaunay triangulation）是科学计算可视化、有限元分析、地学分析、地理信息系统（GIS）、虚拟现实、地图综合以及计算机视觉等众多领域中广泛采用的一种基础技术。它通过特定的算法来确定二维平面上一组点之间的连接方式，以确保这些连接构成的三角形网络满足一系列严格的数学条件。
#### 二、Delaunay三角剖分的基本概念
1. **三角剖分**：对于二维实数域上的有限点集V，若E为由点集中点构成的封闭线段集合，则T=(V,E)是一个三角剖分，且满足以下条件：
- 平面图中的边除端点外不包含点集中的任何点。
- 没有相交边。
- 所有面都是三角形，且这些三角形的合集是散点集V的凸包。
2. **Delaunay边**：若E中的一条边e（两个端点为a,b）满足存在一个圆经过a,b两点，并且圆内不含点集V中其他任何点，则称e为Delaunay边。这一特性又称为**空圆特性**。
3. **Delaunay三角剖分**：如果点集V的一个三角剖分T只包含Delaunay边，则称T为Delaunay三角剖分。其核心在于空圆特性和最大化最小角特性。
#### 三、Delaunay三角剖分的关键性质
1. **空圆特性**：任意一个三角形的外接圆范围内不会有其他点存在。
2. **最大化最小角特性**：在所有可能的三角剖分中，Delaunay三角剖分所形成的三角形的最小角度最大。
3. **最接近性**：以最近的三点形成三角形，各线段（三角形的边）皆不相交。
4. **唯一性**：不论从哪个位置开始构建，最终都将得到一致的结果。
5. **最优性**：任意两个相邻三角形形成的凸四边形的对角线如果可以互换，则最小角度不会变大。
6. **最规则性**：如果将三角网中的每个三角形的最小角进行升序排列，则Delaunay三角网的排列得到的数值最大。
7. **区域性**：新增、删除或移动某个顶点时只会影响临近的三角形。
8. **具有凸多边形的外壳**：三角网最外层的边界形成一个凸多边形的外壳。
这些性质使得Delaunay三角剖分在实际应用中具有极高的价值，并被认为是二维平面三角网中最优的选择。
#### 四、插入法生成Delaunay三角网
1. **初始化**：首先构造一个包含所有散点的大三角形，并将其放入三角形链表中。
2. **插入散点**：依次将点集中的散点插入，对于每个插入的点，查找外接圆包含该点的三角形（即影响三角形），并按照一定的规则进行三角剖分。
3. **LOP优化算法**：优化过程中，检查每条边是否满足Delaunay条件，并进行相应的调整。
4. **循环执行**：直至所有散点均被插入。
5. **去除初始大三角形**：最后去除用于初始化的大三角形及其关联边和三角形。
#### 五、插入法的改进
1. **初始凸包**：使用构成初始凸包代替初始大三角形，可以一次性插入多个点，并避免最后去除初始多边形的步骤。
2. **三角形链表中的索引表示**：使用索引代替实际点坐标，可以节省存储空间。
3. **头插法**：插入点时倾向于在链表头部插入，因为新点通常与最近插入的点距离较近。
4. **多重邻接表**：作为存储结构，可以快速找到包含特定边的所有三角形。
#### 六、总结
Delaunay三角剖分不仅理论基础扎实，而且在实际应用中具有显著的优势。通过对传统插入法的改进，如使用初始凸包、优化存储结构等方法，可以进一步提高算法的效率和实用性。未来的研究方向可能会集中在如何更高效地处理大规模数据集以及如何在三维空间中实现类似的三角剖分。
