根据给定文件中的内容，我们可以总结出以下与线性代数相关的知识点：
### 知识点一：矩阵的逆
**题目1**：已知矩阵 \(A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}\)，求 \((\frac{1}{2}A)^{-1}\)。
**解析**：
- **解法一**：计算 \(\frac{1}{2}A\) 的值，即 \(\frac{1}{2}A = \begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \end{pmatrix}\)。然后，利用矩阵逆的性质，可以得到 \((\frac{1}{2}A)^{-1} = 2(A^{-1})\)。
- **解法二**：直接计算 \((\frac{1}{2}A)^{-1}\) 的值。由于 \(A\) 的特征值分别为 \(\lambda_1=2, \lambda_2=-1, \lambda_3=-1\)，根据特征值的性质，可以推导出 \((\frac{1}{2}A)^{-1}\) 的表达式。
- **特殊解法**：利用特征值和特征向量的概念，结合 \(A\) 的特殊结构，可以直接写出结果。
### 知识点二：矩阵的行列式与逆的关系
**题目2**：已知矩阵 \(A\) 是一个四阶矩阵，并且满足 \((A^*) = 64\)，求矩阵 \(A\) 的逆。
**解析**：
- **解法一**：利用矩阵的行列式和伴随矩阵之间的关系，可以推导出 \(\left| A^{-1} \right| = \frac{1}{\left| A \right|} = \frac{1}{(A^*)} = \frac{1}{64}\)。进一步计算得到 \(A^{-1}\) 的值。
- **解法二**：通过直接计算伴随矩阵的方式，可以得到 \(A^{-1}\) 的具体形式。
### 知识点三：相似矩阵及其性质
**题目3**：已知矩阵 \(A\) 和 \(B\) 相似，且均为四阶矩阵，\(B\) 的特征值为 \(1, -1, 2, 4\)，求 \(AA^T\) 的值。
**解析**：相似矩阵具有相同的特征值，因此可以知道 \(A\) 的特征值也是 \(1, -1, 2, 4\)。由此，可以通过特征值计算 \(AA^T\) 的行列式，进而求得 \(AA^T\) 的值。
### 知识点四：矩阵的转置与逆
**题目4**：已知矩阵 \(A^* = \begin{pmatrix} 10 & 5 & 1 \\ -8 & 4 & 1 \\ -7 & 4 & 1 \end{pmatrix}\)，求矩阵 \(A\)。
**解析**：利用伴随矩阵的定义以及矩阵的逆的性质，可以求出 \(A\) 的具体形式。本题的关键在于理解伴随矩阵与原矩阵之间的关系，并能够熟练应用矩阵的逆来解决问题。
### 知识点五：矩阵运算与证明
**题目5**：已知 \(A, B\) 均为 \(N\) 阶矩阵，且满足 \(A + B^2 = E\)，其中 \(A\) 为对称矩阵且可逆，证明 \((AB)^{-1} + (BA)^{-1} = E\)。
**解析**：本题的关键在于理解和运用矩阵的运算规则，特别是矩阵的逆、转置等概念。通过逐步推导，可以证明给出的等式成立。
以上就是从给定文件中提取的线性代数相关知识点的详细解析。这些知识点涵盖了矩阵的基本运算、逆、特征值及特征向量等内容，对于深入理解线性代数理论非常有帮助。
