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FFTW

for version 3.3.8, 24 May 2018

Matteo Frigo

Steven G. Johnson

Table of Contents

1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2 Tutorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.1 Complex One-Dimensional DFTs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.2 Complex Multi-Dimensional DFTs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.3 One-Dimensional DFTs of Real Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.4 Multi-Dimensional DFTs of Real Data. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.5 More DFTs of Real Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.5.1 The Halfcomplex-format DFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.5.2 Real even/odd DFTs (cosine/sine transforms) . . . . . . . . . . . . 11

2.5.3 The Discrete Hartley Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3 Other Important Topics. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.1 SIMD alignment and ﬀtw malloc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.2 Multi-dimensional Array Format . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.2.1 Row-major Format . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.2.2 Column-major Format . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.2.3 Fixed-size Arrays in C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.2.4 Dynamic Arrays in C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.2.5 Dynamic Arrays in C—The Wrong Way . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.3 Words of Wisdom—Saving Plans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.4 Caveats in Using Wisdom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4 FFTW Reference . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4.1 Data Types and Files . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4.1.1 Complex numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4.1.2 Precision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4.1.3 Memory Allocation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4.2 Using Plans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4.3 Basic Interface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4.3.1 Complex DFTs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4.3.2 Planner Flags . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.3.3 Real-data DFTs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.3.4 Real-data DFT Array Format . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.3.5 Real-to-Real Transforms. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4.3.6 Real-to-Real Transform Kinds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4.4 Advanced Interface. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.4.1 Advanced Complex DFTs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.4.2 Advanced Real-data DFTs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.4.3 Advanced Real-to-real Transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.5 Guru Interface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.5.1 Interleaved and split arrays . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

ii FFTW 3.3.8

4.5.2 Guru vector and transform sizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.5.3 Guru Complex DFTs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.5.4 Guru Real-data DFTs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.5.5 Guru Real-to-real Transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.5.6 64-bit Guru Interface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.6 New-array Execute Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.7 Wisdom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.7.1 Wisdom Export . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.7.2 Wisdom Import . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.7.3 Forgetting Wisdom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.7.4 Wisdom Utilities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.8 What FFTW Really Computes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.8.1 The 1d Discrete Fourier Transform (DFT) . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.8.2 The 1d Real-data DFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.8.3 1d Real-even DFTs (DCTs) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.8.4 1d Real-odd DFTs (DSTs) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.8.5 1d Discrete Hartley Transforms (DHTs) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.8.6 Multi-dimensional Transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

5 Multi-threaded FFTW . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5.1 Installation and Supported Hardware/Software . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5.2 Usage of Multi-threaded FFTW . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5.3 How Many Threads to Use? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

5.4 Thread safety . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

6 Distributed-memory FFTW with MPI . . . . . . 53

6.1 FFTW MPI Installation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

6.2 Linking and Initializing MPI FFTW. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

6.3 2d MPI example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

6.4 MPI Data Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

6.4.1 Basic and advanced distribution interfaces . . . . . . . . . . . . . . . . 56

6.4.2 Load balancing. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

6.4.3 Transposed distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

6.4.4 One-dimensional distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

6.5 Multi-dimensional MPI DFTs of Real Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

6.6 Other multi-dimensional Real-Data MPI Transforms . . . . . . . . . . . 62

6.7 FFTW MPI Transposes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

6.7.1 Basic distributed-transpose interface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

6.7.2 Advanced distributed-transpose interface . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

6.7.3 An improved replacement for MPI Alltoall . . . . . . . . . . . . . . . 64

6.8 FFTW MPI Wisdom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

6.9 Avoiding MPI Deadlocks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

6.10 FFTW MPI Performance Tips . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

6.11 Combining MPI and Threads . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

6.12 FFTW MPI Reference . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

6.12.1 MPI Files and Data Types . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

6.12.2 MPI Initialization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

6.12.3 Using MPI Plans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

iii

6.12.4 MPI Data Distribution Functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

6.12.5 MPI Plan Creation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

6.12.6 MPI Wisdom Communication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

6.13 FFTW MPI Fortran Interface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

7 Calling FFTW from Modern Fortran . . . . . . . . 77

7.1 Overview of Fortran interface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

7.1.1 Extended and quadruple precision in Fortran . . . . . . . . . . . . . 78

7.2 Reversing array dimensions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

7.3 FFTW Fortran type reference . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

7.4 Plan execution in Fortran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

7.5 Allocating aligned memory in Fortran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

7.6 Accessing the wisdom API from Fortran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

7.6.1 Wisdom File Export/Import from Fortran . . . . . . . . . . . . . . . . 83

7.6.2 Wisdom String Export/Import from Fortran . . . . . . . . . . . . . . 84

7.6.3 Wisdom Generic Export/Import from Fortran . . . . . . . . . . . . 84

7.7 Deﬁning an FFTW module. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

8 Calling FFTW from Legacy Fortran . . . . . . . . . 87

8.1 Fortran-interface routines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

8.2 FFTW Constants in Fortran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

8.3 FFTW Execution in Fortran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

8.4 Fortran Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

8.5 Wisdom of Fortran?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

9 Upgrading from FFTW version 2 . . . . . . . . . . . . 93

10 Installation and Customization . . . . . . . . . . . . . 97

10.1 Installation on Unix. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

10.2 Installation on non-Unix systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

10.3 Cycle Counters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

10.4 Generating your own code . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

11 Acknowledgments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

12 License and Copyright. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

13 Concept Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

14 Library Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

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