第二章 矩阵.doc答案与解析及辅导

在本章“矩阵”中，我们探讨了线性代数中的核心概念——矩阵及其运算。以下是对题目中涉及的知识点的详细解释： 1. **代数余子式和伴随矩阵**： - 一个矩阵的代数余子式是通过删除某一行和某一列后得到的余下子矩阵的行列式的负的符号幂，即(-1)^{i+j}M_{ij}，其中M_{ij}是该子矩阵的行列式。 - 一个矩阵的所有代数余子式的转置按照行列式的排列构成的矩阵称为该矩阵的伴随矩阵，记作A*。 2. **可逆矩阵与行列式**： - 阶矩阵可逆的充分必要条件是它的行列式不为零。如果|A|≠0，那么A可逆，其逆矩阵记作A^{-1}。 - 矩阵的逆可以通过初等行变换或通过伴随矩阵公式A^{-1}=1/|A| * A*来求解，其中|A|是A的行列式。 3. **矩阵乘法与计算**： - 矩阵乘法遵循特定的规则，不满足交换律，即AB≠BA。 - 在给定的计算题中，例如已知矩阵A、B，可以按照矩阵乘法规则求AB和BA的具体值。 4. **特殊矩阵的性质**： - 方阵的行列式为零意味着矩阵不可逆。 - 如果给定方阵A，其主对角线元素之和（迹）为tr(A)，则A的迹与A的行列式相乘等于A的特征值之和。 5. **矩阵的逆与行列式的关系**： - 当矩阵A可逆时，可以通过A的伴随矩阵A*和行列式|A|来表示A的逆，即A^{-1} = 1/|A| * A*。 6. **分块矩阵**： - 在计算题中，利用分块矩阵的方法可以简化计算，将大矩阵分解为小矩阵进行处理。 7. **矩阵的乘法性质**： - 证明题中涉及了矩阵乘法的性质，如(A^k)B=B(A^k)对于可逆矩阵A和任何矩阵B。 8. **矩阵乘积的行列式**： - 若AB=BA，那么|AB|=|BA|=|A||B|。这在证明矩阵乘积的行列式性质时非常重要。 9. **矩阵可逆性的充要条件**： - 证明题中展示了矩阵可逆的另一种表述：若AB=BA=I，其中I是单位矩阵，则A和B都可逆，且互为逆矩阵。 这些知识点构成了线性代数中矩阵理论的基础，它们在解决线性方程组、特征值问题、向量空间的线性变换等领域都有广泛的应用。理解并熟练掌握这些概念对于学习和应用线性代数至关重要。