背包九讲 高清晰PDF文档

### 背包九讲知识点概述 #### P01: 01背包问题 - **题目**: 给定N件物品和一个容量为V的背包，第i件物品的费用为c[i]，价值为w[i]。目标是确定哪些物品放入背包可以获得最大的价值总和。 - **基本思路**: 定义子问题`f[i][v]`表示从前i件物品中选择放入容量为v的背包中所能获得的最大价值。状态转移方程为：`f[i][v] = max{f[i-1][v], f[i-1][v-c[i]] + w[i]}`。 - **优化空间复杂度**: 原始方法的时间和空间复杂度均为O(VN)。可以通过使用一维数组来优化空间复杂度至O(V)。具体做法是在计算当前物品时，从后向前遍历数组，保证在更新`f[v]`时，`f[v-c[i]]`已经包含了上一次迭代的结果。 - **初始化的细节问题**: 初始化时，对于容量为0的情况，所有物品都不能放入背包，因此`f[0]`应设为0。 #### P02: 完全背包问题 - **题目**: 类似于01背包问题，但每种物品都有无限多件可供选择。 - **基本思路**: 定义状态`f[i][v]`表示从前i种物品中选择放入容量为v的背包中所能获得的最大价值。状态转移方程为：`f[i][v] = max{f[i][v], f[i-1][v-j*c[i]] + j*w[i]} (j = 0, 1, 2, ..., v/c[i])`。 - **一个简单有效的优化**: 通过直接计算`f[i][v]`而不需遍历所有可能的`j`值，可以减少计算量。 - **转化为01背包问题求解**: 将完全背包问题转化为01背包问题，通过对每种物品重复添加，直到超过背包容量为止。 - **O(VN)的算法**: 通过动态规划解决完全背包问题，时间复杂度为O(VN)。 #### P03: 多重背包问题 - **题目**: 每种物品有有限的数量。 - **基本算法**: 可以将每种物品转化为等价的01背包问题或完全背包问题，通过预处理来解决。 - **转化为01背包问题**: 对于每种物品，构造一组等价的物品，每个物品的费用和价值不同，使得整个问题可以转化为01背包问题。 - **O(VN)的算法**: 使用动态规划解决多重背包问题，时间复杂度为O(VN)。 #### P04: 混合三种背包问题 - **问题**: 综合考虑01背包问题、完全背包问题和多重背包问题。 - **01背包与完全背包的混合**: 在同一问题中同时出现01背包和完全背包，可以分别处理后再合并结果。 - **再加上多重背包**: 在上述基础上再加入多重背包问题，进一步增加了解决难度。 - **小结**: 混合背包问题通常需要综合运用各种背包问题的解决技巧。 #### P05: 二维费用的背包问题 - **问题**: 物品有两个维度的成本。 - **算法**: 通过构建一个新的背包问题模型，利用动态规划的方法求解。 - **物品总个数的限制**: 当存在物品数量限制时，可以调整模型以适应这一限制。 - **复数域上的背包问题**: 这是一个理论扩展，通常不会出现在实际问题中。 - **小结**: 二维费用的背包问题增加了问题的复杂性，需要更高级的解决技巧。 #### P06: 分组的背包问题 - **问题**: 物品被分为不同的组，且每组只能选择一个物品。 - **算法**: 定义新的状态，包含组的选择信息，使用动态规划方法解决。 - **小结**: 分组背包问题需要特别关注组之间的约束关系。 #### P07: 有依赖的背包问题 - **简化的问题**: 物品之间存在某种依赖关系。 - **算法**: 定义新的状态来表示这种依赖关系，并利用动态规划方法求解。 - **较一般的问题**: 当依赖关系更为复杂时，需要采用更复杂的模型。 - **小结**: 有依赖的背包问题需要考虑物品间的关联性。 #### P08: 泛化物品 - **定义**: 物品不仅仅是简单的费用和价值，还可以拥有其他属性。 - **泛化物品的和**: 如何计算泛化物品的总价值。 - **背包问题的泛化物品**: 将泛化物品的概念应用到背包问题中。 - **小结**: 泛化物品的概念拓展了背包问题的应用范围。 #### P09: 背包问题问法的变化 - **输出方案**: 不仅求解最大价值，还需要输出具体的物品组合。 - **输出字典序最小的最优方案**: 在多种最优方案中选择字典序最小的一种。 - **求方案总数**: 计算满足条件的所有方案数量。 - **最优方案的总数**: 在所有可能的方案中找出最优方案的数量。 - **求次优解、第K优解**: 寻找除了最优解之外的其他解。 - **小结**: 背包问题的不同问法要求解者具备灵活运用动态规划的能力。 ### 总结 《背包九讲》系统地介绍了从基础到高级的各种背包问题类型及其解决方法。从01背包问题出发，逐步引入完全背包问题、多重背包问题、混合背包问题等，最后扩展到更加复杂的情况，如二维费用的背包问题、分组背包问题以及有依赖的背包问题等。通过对这些不同类型背包问题的学习和实践，读者可以全面掌握解决这类问题的核心思想和技术。