随机信号分析基础1（部分复习习题课件）

随机变量的定义 设随机试验的样本空间为S＝{ei}，如果对样本空间的每一个元素ei，都有一实数X(ei)与之对应，对所有的元素ei∈S,就得到一个定义在空间S上的实单值函数X(e)，称X(e)为随机变量，简写为X。 随机信号分析基础是信号处理和通信工程中的重要理论，它主要研究的是不确定或随机变化的信号。本部分内容主要围绕随机变量及其概率分布展开，包括离散型和连续型随机变量、概率分布函数、概率密度函数、数学期望、方差以及随机变量的相关性和独立性。 1. 随机变量：随机变量是概率论中的核心概念，它是一个函数，将随机试验的所有可能结果映射到实数上。随机变量分为离散型和连续型，前者取值有限或可数，后者则在某一区间内连续取值。 2. 概率分布函数：概率分布函数F(x)表示随机变量X取值小于或等于x的概率。对于离散型随机变量，它是各可能取值概率的累加；对于连续型随机变量，它是概率密度函数的积分。 3. 概率密度函数：对于连续型随机变量，概率密度函数f(x)是概率分布函数的导数，它给出了随机变量在某一点取值的概率密度。对于离散型随机变量，其概率密度函数是各离散点的概率。 4. 数学期望和方差：数学期望E(X)是随机变量X的平均值，反映了随机变量的集中趋势。方差D(X)衡量了随机变量X与其期望的偏离程度，方差越大，随机变量的波动性越大。方差的平方根是标准差，也是衡量随机变量波动性的常用指标。 5. 矩和统计独立：矩是描述随机变量形状的重要统计量，包括原点矩和中心矩。原点矩E(X^n)和中心矩E[(X-E(X))^n]分别对应于随机变量的n阶矩。统计独立的随机变量满足乘积的期望等于各自期望的乘积，即E(XY)=E(X)E(Y)。 6. 随机变量函数的分布：通过随机变量的函数来分析新的随机变量的分布，例如，如果Y=g(X)，那么可以通过X的概率密度函数和雅可比变换求出Y的概率密度函数。 7. 特征函数：特征函数是随机变量X的指数函数E[e^(jωX)]的数学期望，它可以用来推导随机变量的概率密度函数，是概率密度函数的一种傅立叶表示。 这些基本概念是随机信号分析的基础，它们在信号处理、通信系统、控制系统等领域有广泛应用。例如，噪声模型、滤波器设计、信道建模等都会涉及到随机变量的性质和分布。掌握这些知识对于理解和解决实际问题至关重要。