离散数学（上）

离散数学是计算机科学的基础课程，它探讨的是不连续或非连续对象的数学结构和性质。于建国教授的第二版离散数学讲义，适用于合肥工业大学大一下学期的学生，是学习这一领域的宝贵资源。讲义可能包含了逻辑基础、集合论、图论、组合数学以及初步的数理逻辑等内容。 我们从逻辑基础出发，这部分通常涵盖命题逻辑和一阶逻辑。命题逻辑主要涉及基本的逻辑联接词（如与、或、非、蕴含、等价），以及真值表、推理规则和证明方法。一阶逻辑则引入量词（全称量词和存在量词），允许我们在表达更为复杂的数学命题时进行量化。 集合论是离散数学的基石，它定义了数学的基本概念——集合，以及集合之间的关系和运算，如并集、交集、差集、幂集等。还可能涉及到康托尔的对角线法，用于证明实数集合不可数。 图论是研究点（顶点）和边关系的数学分支，广泛应用于网络分析、数据结构和算法设计。图的基本概念包括无向图、有向图、树、连通性、欧拉路径、哈密顿回路等。图的遍历算法，如深度优先搜索和广度优先搜索，也是计算机科学中的重要工具。 组合数学研究的是有限集合中对象的选择和排列。它包括组合计数、二项式定理、帕斯卡定律、鸽巢原理、容斥原理等。组合问题在计算复杂性和概率理论中有着广泛应用。 数理逻辑部分可能涉及到形式系统、证明的构造、完备性定理（哥德尔不完备性定理）、一致性证明和递归理论。这些概念为理解计算的局限性和理论基础提供了框架。 于建国教授的讲义很可能以清晰易懂的方式阐述了这些主题，并可能通过实例和习题来加强理解。对于计算机科学专业的学生来说，掌握离散数学的知识对于理解数据结构、算法、计算理论以及形式语言和自动机等后续课程至关重要。因此，深入学习并熟练掌握离散数学的理论和应用是成为优秀IT专业人才的基础。