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Matlab在复变函数中的应用.docx
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Matlab在复变函数中的应用.docx
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I
MATLAB 在复变函数中的应用
摘要 MATLAB 是一种跨平台的数学语言,是在工程应用中被广泛用作数值计算和仿真的有力
工具,MATLAB 有着强大的数学能力,并且靠矩阵作为基本运算元素,并且在对复杂数学问
题求解上,MATLAB 有着良好的快速性和准确性,并且能对大量的数据运算结果进行可视化
处理,目前成为了各个学校在教学和科研项目中不可或缺的工具。而对于理工学科所必备的
课程,复变函数由于其不具有简单的现实性与空间性,在学习过程中学生较难理解,所以,
如果将 MATLAB 的数学建模与结果可视化引入到复变函数的计算与演练中,对学生理解整个
计算流程,建立对该数学学科的深刻理解是十分有帮助的,并且能够减轻任课老师的教学难
度,增强学生的理解性。
关键词 复变函数 MATLAB 可视化
II
Application of Matlab in complex variable function
AbstractMATLAB is a cross-platform mathematical language, which is widely used as a
powerful tool for numerical calculation and simulation in engineering applications.
MATLAB has strong mathematical capabilities, and relies on matrices as basic computing
elements, and is used to solve complex mathematical problems , MATLAB has good
speed and accuracy, and can visually process a large number of data calculation results.
It has become an indispensable tool in teaching and scientific research projects of various
schools. As for the necessary courses in science and engineering, complex variable
functions are difficult to understand during the learning process because of their lack of
simple reality and spatiality. Therefore, if the mathematical modeling and result
visualization of MATLAB are introduced into complex variable functions In the calculations
and drills, it is very helpful for students to understand the entire calculation process and
establish a deep understanding of the mathematics discipline. It can also reduce the
difficulty of teaching by the teacher and enhance the students' understanding.
Key words Matlab complex analysis Visualization
目 录
摘要 .........................................................................................................................................Ⅰ
Abstract...................................................................................................................................Ⅱ
1. 引言 ..................................................................1
2. MATLAB 在复变函数计算中的应用.................................................................................2
2.1 复数的计算........................................................2
2.2 复变函数的微积分..................................................4
2.3 复变函数方程求解..................................................7
2.4 留数的计算........................................................8
2.5 泰勒级数展开......................................................9
3. 复变函数的图形 ................................................................................................................11
3.1 三角函数的图像...................................................11
3.2 其他函数图像.....................................................12
结论 .........................................................................................................................................16
参考文献 .................................................................................................................................17
致谢 .........................................................................................................................................18
- 1 -
1.引 言
复变函数理论诞生于 18 世纪,欧拉(Euler),达兰伯特(Dalambert),拉普拉斯(Laplace)等
人是该领域的奠基人,并在 19 世纪,通过著名的考西(Cauchy),黎曼(Riemann),威尔斯特拉斯(Wilstras)
学者,新的数学分支变量的复数函数理论是 19 世纪最好的。它是最丰富的数学分支之一,被认为是抽象
科学中最和谐的理论之一。20 世纪初,该理论进一步发展,使得复变函数融入到越来越多的工程问题中,
变量的多样性也和实际问题与工程问题中复杂的环境相符合。
Mathworks 公司推出的 MATLAB 数学软件,被广泛用于商业计算,该软件可以开发新型算法,对数据
进行分类整理并且可以绘制数据图形,用户可以使用简单指令和 MATLAB 进行交互。其中包括两个部分,
一个是主要用于计算的 MATLAB,另一个是主要用于仿真的 Simulink 仿真系统,MATLAB 的命名是源自于
矩阵和实验室的两个英文单词的拼写,可以翻译为矩阵实验室。MATLAB 自开发之时就注重于与用户的可
视化交互界面开发,相比于其他数学软件,其表现出强大的适用性与便捷性,用户可以通过简洁的可视
化界面完成人机交互,无需进行变量的定义即可完成程序的编写,这种设计对于初学者来说十分友好。
在图形处理方面,MATLAB 可以将用图形来表示向量和矩阵,其中对于图形处理也有着强大的能力,为普
通用户提供图形处理工具的同时也为特殊用户提供特殊的功能函数,从不同的需求角度满足用户的需求。
由于 Matlab 有很多特点,在欧美大学,Matlab 已经成为研究矩阵运算与控制系统仿真的首选工具。
MATLAB 在复变量函数领域中的使用越来越多,而 MATLAB 使您可以简化一些基本计算,例如导数,导
数,积分,平方根,残差和复数的级数展开。在分析某些复杂变量函数的属性时,可以使用 MATLAB 图纸
分析这些复杂变量函数的属性,因为 MATLAB 的计算函数不一定直观且不清楚。
本文基于上述问题的提出,采用 MATLAB 作为数据分析工具,结合复变函数学科的主要特征,实现了
MATLAB 软件在复变函数计算与结果图形可视化的应用,对于第一部分,主要应用 MATLAB 强大的数据处理
能力,在复数的计算以及方程的建立与求解上进行了阐述,通过应用泰勒展开公式实现对工程问题误差
的计算,其次,运用 MATLAB 强大的可视化图形处理能力,对运算结果在可以在四维图形上进行建模,由
于以往的图形表现形式智能在三个坐标轴上进行图形处理,此次 MATLAB 使用不同的颜色表示值的大小来
实现了第四维度的数值表述,结果较为直观。
- 2 -
2. MATLAB
在复变函数计算中的应用
2.1
复数的计算
对于复变函数计算是在本次研究中最关注的功能,MATLAB 强大的运算能力可以使该任务被轻松
解决,与传统的数学计算不同,在传统计算中数值整理相对简单,但是在复变函数的计算中,就大不相
同,工作量将成倍增加,可以通过调用工具包中的具体函数实现对复变函数各个部分的精确计算,节省
大量人力与时间。
例 1 对下列复数进行化简,并求它们的实部、虚部、辐角、模、共轭复数.
)5ln(;23;;
)2()5(
)1()3(
;12
2012
43
22
310
iiii
ii
ii
iii ���
��
��
���
.
分析:上述问题虽然看似结构并没有特别复杂,但是相对于传统数值计算中工作量翻倍,利用
MATLAB 中几个完善的函数即可对该函数进行分部求解,具体的求解编程如下中所示:
解:在 MATLAB 命令窗口输入如下复数矩阵:
>> A=[i^10+i^3+i+12 ((3+i)^2*(1+i)^2)/((5+i)^3*(2+i)^4) 3-2*i i^2012 log((5+i)^(1/2)+i)]
>> real(A) %复数矩阵 A 的实部
ans = 11.0000 0.0059 3.0000 1.0000 0.9393
>> imag(A) %复数矩阵 A 的虚部
ans = 0 -0.0014 -2.0000 0 0.4983
>> angle(A) %复数矩阵 A 的辐角
ans = 0 -0.2325 -0.5880 0 0.4877
>> abs(A) %复数矩阵 A 的模
ans = 11.0000 0.0060 3.6056 1.0000 1.0632
>> conj(A) %复数矩阵 A 的共轭复数
ans =
11.0000 0.0059 + 0.0014i 3.0000 + 2.0000i 1.0000 0.9393 - 0.4983i
在上面的示例中,使用 MATLAB,您不仅可以找到复数的加,减,乘和除,还可以找到复数,复
数等,并且可以采用实数,虚数和共轭复数。 当您需要处理时,可以使用 MATLAB 强大的矩阵数学函
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南抖北快东卫
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