Intro to Probability

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需积分: 0 3 下载量 105 浏览量 更新于2016-06-30 1 收藏 822KB PDF 举报
根据提供的文件信息,本文将对概率的基本概念进行详细介绍,并探讨其在机器人感知中的应用价值。以下是对文件中提及的关键知识点的深入分析。 ### 一、概率的定义 #### 定义与基本概念 - **实验**:考虑一个可能非常抽象的实验。 - **样本空间**(\(\Omega\)):实验的所有可能结果组成的集合。 - **基本事件**(\(\omega\)):样本空间中的单一结果。 #### 示例 以投掷两个骰子为例: - **样本空间** \(\Omega = \{(1,1), (1,2), ..., (6,5), (6,6)\}\)。 - **非基本事件**:如“两次投掷的结果相同”,即\(B = \{(1,1), (2,2), ..., (6,6)\}\)。 #### 概率空间 对于有限集\(\Omega\),概率空间\((\Omega, P)\)由样本空间\(\Omega\)及满足以下条件的概率函数\(P\)组成: 1. 对所有\(\omega \in \Omega\),有\(0 \leq P(\omega) \leq 1\)。 2. \(\sum_{\omega \in \Omega} P(\omega) = 1\)。 3. 对于任何事件\(A \subseteq \Omega\),\(P(A) = \sum_{\omega \in A} P(\omega)\)。 #### 基本推论 - \(P(\emptyset) = 0\)。 - \(P(\Omega) = 1\)。 - \(P(A^C) = 1 - P(A)\)。 - \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\)。 - \(P(A) = P(A \cap B) + P(A \cap B^c)\)。 ### 二、独立性 #### 定义 在给定的概率空间中,两个事件\(A\)和\(B\)是独立的当且仅当\(P(A \cap B) = P(A)P(B)\)。 #### 示例 - **示例1**:假设投掷两枚硬币,\(\Omega = \{HH, HT, TH, TT\}\),且每个结果的概率相等为\(\frac{1}{4}\)。 - 定义事件\(A\):“第一次投掷为正面”。\(A = \{HH, HT\}\)。 - 定义事件\(B\):“第二次投掷为正面”。\(B = \{HH, TH\}\)。 - 验证独立性:\(P(A \cap B) = P(HH) = \frac{1}{4}\),\(P(A)P(B) = \frac{1}{2} * \frac{1}{2} = \frac{1}{4}\)。因此,\(A\)和\(B\)是独立的。 - **示例2**:仍以上述情况为例,定义事件\(A\):“第一次投掷为正面”。\(A = \{HH, HT\}\)。 - 定义事件\(B\):“至少出现一次反面”。\(B = \{HT, TH, TT\}\)。 - 验证独立性:\(P(A \cap B) = P(HT) = \frac{1}{4}\),\(P(A)P(B) = \frac{1}{2} * \frac{3}{4} = \frac{3}{8}\)。因此,\(A\)和\(B\)不是独立的。 ### 三、条件概率 #### 定义 对于任意两个事件\(A\)和\(B\),如果\(P(B) \neq 0\),则定义条件概率\(P(A|B)\)表示在已知\(B\)发生的情况下\(A\)发生的概率,计算公式为: \[P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}\] #### 范例 继续以投掷两枚硬币的情况为例,假设\(A\)为“第一次投掷为正面”,\(B\)为“第二次投掷为正面”,那么根据条件概率的定义可以得到: \[P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}\] 这意味着在已知第二次投掷为正面的情况下,第一次投掷也为正面的概率为\(\frac{1}{2}\)。 通过这些基本的概念和实例,我们可以更好地理解概率的基础知识及其在不同场景下的应用,特别是对于机器人感知领域来说,掌握这些概念能够帮助我们更准确地建模和预测真实世界中的随机性和不确定性。