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利用导数“三招”破解不等式恒成立问题

不等式恒成立问题一直是高考命题的热点，把函数问题、导数问题和不等式恒成立问

题交汇命制压轴题成为一个新的热点命题方向．

[典例 ] (2017 ·全国卷Ⅲ )已知函数 f(x)＝ x－1－aln x.

(1)若 f(x)≥0，求 a 的值；

(2)设 m 为整数，且对于任意正整数 n， 1＋

1

2

·1＋

1

2

2

·…·1＋

1

2

n

<m，求 m 的最小值．

[方法演示 ]

解： (1)f(x)的定义域为 (0，＋ ∞)．

①若 a≤0，因为 f

1

2

＝－

1

2

＋aln 2<0，所以不满足题意；

②若 a>0，由 f′(x)＝1－

a

x

＝

x－a

x

知，当 x∈(0，a)时， f′(x)<0；当 x∈(a，＋ ∞ )时，

f′(x)>0.

所以 f(x)在(0，a)上单调递减，在 (a，＋ ∞ )上单调递增．

故 x＝a 是 f(x)在(0，＋ ∞)的唯一最小值点．

由于 f(1)＝0，所以当且仅当 a＝1 时， f(x)≥0.

故 a＝1.

(2)由(1)知当 x∈(1，＋ ∞)时， x－ 1－ln x>0.

令 x＝1＋

1

2

n

，得 ln

1＋

1

2

n

<

1

2

n

.

从而 ln

1＋

1

2

＋ ln

1＋

1

2

2

＋…＋ln

1＋

1

2

n

<

1

2

＋

1

2

2

＋…＋

1

2

n

＝1－

1

2

n

<1.

故

1＋

1

2

1＋

1

2

2

·…·

1＋

1

2

n

<e.

而

1＋

1

2

1＋

1

2

2

1＋

1

2

3

>2，

所以 m 的最小值为 3.

[解题师说 ]

(1)对 a 分类讨论，并利用导数研究 f(x)的单调性，找出最小值点，从而求出 a.

(2)由(1)得当 x>1 时，x－ 1－ln x>0.令 x＝1＋

1

2

n

，换元后可求出

1＋

1

2

1＋

1

2

2

·… ·

1＋

1

2

n

的范围．

[应用体验 ]

1．已知函数 f(x)＝(2－a)ln x＋

1

x

＋2ax.

(1)当 a＝2 时，求函数 f(x)的极值；

(2)当 a＜0 时，讨论 f(x)的单调性；

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