大学ACM考试题目及其作业答案整理

【ACM竞赛与学习资源】ACM（International Collegiate Programming Contest，国际大学生程序设计竞赛）是全球最具影响力的大学生程序设计比赛，旨在提升大学生的算法设计和编程能力。本资料整理了适合初学者和自学者的ACM考试题目及作业答案，同时也对准备复试的考生非常有用。 1. **平面分割问题** 这是一道递归求解的问题，题目描述了n条封闭曲线在平面上的分割情况。当n条曲线时，问题可以通过递归转化为n-1条曲线的情况，因为每增加一条曲线会增加2(n-1)个新的区域。给出的C++代码实现了一个名为`f`的递归函数，其基本思路是： - 当n等于1时，有2个区域（一个内部区域和外部区域）。 - 对于n大于1的情况，区域数等于n-1条曲线时的区域数加上2*(n-1)。 ```cpp #include <iostream.h> int f(int n){ if(n==1) return 2; else return f(n-1)+2*(n-1); } void main(){ int n; while(1){ cin>>n; cout<<f(n)<<endl; } } ``` 2. **LELE的RPG难题** 此问题要求在一个有n个方格的行中涂色，颜色限制为红、粉、绿，相邻格子不能同色，首尾两格颜色也不能相同。这个问题同样可以使用递归来解决。对于n=1，有3种涂色方式；对于n=2，有6种方式。对于更大的n，涂色数等于n-1时的涂色数加上n-2时的涂色数的两倍。 ```cpp #include<iostream.h> int f(int n){ if(n==1) return 3; else if(n==2) return 6; else return f(n-1)+f(n-2)*2; } void main(){ int n; while(1){ cin>>n; cout<<f(n)<<endl; } } ``` 3. **网格路径计数** 北大ACM问题1942题是关于在n*m的网格上从左下角移动到右上角的不同路径数，每步只能向右或向上移动。这是一个典型的动态规划问题，可以用矩阵快速幂或斐波那契数列的方法来解决。对于每个单元格(i, j)，可以到达它的路径数是它左边单元格(i, j-1)和上边单元格(i-1, j)的路径数之和。基础情况是当i=1或j=1时，路径数为1。 ```cpp // 假设有一个有效的函数dp计算每个单元格的路径数 int dp[1001][1001]; // 初始化边界条件 for(int i = 1; i <= n; i++) dp[i][1] = dp[1][i] = 1; // 动态规划填充矩阵 for(int i = 2; i <= n; i++) for(int j = 2; j <= m; j++) dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]; // 最后右上角的路径数即为答案 cout << dp[n][m] << endl; ``` 这个例子中的输入包含多组测试用例，每组由两个正整数n和m组成，表示网格的大小。输出为对应网格上所有可能路径的数量，保证结果能用32位无符号整数表示。 总结：这些题目涵盖了递归、动态规划等算法基础，是ACM竞赛中常见的问题类型。通过解决这些问题，学生可以提升逻辑思维能力和编程技能，为参加ACM竞赛或进一步的计算机科学学习打下坚实的基础。