《线性代数》是数学领域的一门基础课程，主要研究向量、矩阵、线性方程组、特征值与特征向量、二次型等概念及其相互关系。本习题解答集由段正敏主编，适用于重庆大学版教材，旨在帮助学生深入理解和掌握线性代数的基本理论和方法。
行列式是线性代数中的一个重要概念，它反映了矩阵的某些特性。在第一章中，习题涉及了计算行列式的逆序数，如题目（1）和（2）。逆序数是计算行列式的一种手段，对于一个排列，逆序数表示其中两个元素位置颠倒的对数。题目（3）则考察了行列式的展开，通过特定项来确定行列式的值。题目（4）表明，行列式可以因式分解，每一行都可以提取一个公因子，这对于简化计算非常有用。
第二章讨论了矩阵，矩阵乘法、加法、转置和逆矩阵等基本运算。在解决线性方程组时，矩阵扮演着关键角色。题目（5）提到了Vandermonde行列式，这是一个特殊的矩阵形式，其特征在于它的元素是按递增或递减顺序排列的一组数。Vandermonde行列式的根可以直接从定义中求出。
第三章至第六章分别探讨了向量组的线性相关性、线性方程组、矩阵的相似对角化以及二次型。向量组的线性相关性与线性独立性是判断线性组合能否唯一确定一个向量的关键。线性方程组的解法包括高斯消元法和克拉默法则。矩阵的相似对角化涉及到特征值和特征向量，它们揭示了矩阵在变换下的本质属性。而二次型则与实数域上的二次函数相关，通过对矩阵的对角化，可以将二次型标准化，从而简化分析。
在处理线性方程组和矩阵问题时，往往需要用到行列式的性质。例如，题目（6）展示了如何通过解方程组来确定行列式的值。题目（7）和（8）则涉及到行列式等于零的条件，这通常意味着存在非平凡解或者系数矩阵不可逆。题目（9）利用初等行变换求解线性方程组，而题目（10）则通过行列式按第一行展开的方法，直接得到行列式的值。
这份习题解答集全面覆盖了线性代数的核心知识点，旨在帮助学生巩固理论知识，提高解决实际问题的能力。通过这些习题，学生不仅可以熟练掌握线性代数的基本运算，还能培养分析问题和解决问题的思维能力。
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