高等代数是一门深入研究线性代数理论的高级数学课程，主要涉及向量空间、线性变换、矩阵理论、二次型以及多项式理论等内容。试卷中的问题涵盖了多个关键知识点，下面将逐一解析：
1. **二次型**：二次型是多项式函数的一种特殊形式，与矩阵密切关联。实二次型的规范形是由主对角线上元素的平方决定的，它通过一系列正交变换可以转换为标准形，揭示其性质。
2. **正定二次型**：一个二次型被定义为正定，当且仅当对于所有非零向量x，该二次型的值都为正。题目中的条件意味着当t=405时，二次型是正定的。
3. **特征值**：复矩阵的特征值之和等于矩阵的迹（对角元素之和），特征值之积等于矩阵的行列式。因此，复矩阵A的特征值之和为n，特征值之积为det(A)。
4. **特征值的性质**：如果矩阵A的特征值分别为λ1, λ2, ..., λn，那么矩阵E^kA的特征值为e^kλ1, e^kλ2, ..., e^kλn。题目中要求E^7A的特征值，可以根据这个性质求解。
5. **线性空间的维数**：复数集C作为复数域上的线性空间，其维数是1；作为实数域上的线性空间，每个复数可以视为两个实数的组合，所以其维数是2。
6. **正交矩阵**：正交矩阵的逆矩阵为其转置，即A^T = A^-1。同时，正交矩阵的行列式为1。
7. **子空间的性质**：给定子空间W的生成元，可以计算出其维数和基。在这个例子中，子空间W的维数等于生成元的个数减去线性相关的自由变量数。
8. **若当标准形**：矩阵A的若当标准形是由其初等因子决定的，通过初等行变换可以将其转化为若当标准形，其特征值体现在对角线上。
9. **过渡矩阵**：从一组基到另一组基的过渡矩阵T满足新基下的向量等于旧基下的向量乘以T。
10. **线性变换的矩阵表示**：线性变换在不同基下的矩阵可以通过过渡矩阵来转换。这里给出了线性变换的坐标表达，要求其在标准基下的矩阵。
11. **向量空间的和**：两个向量空间的和是指包含所有一个来自第一个空间，另一个来自第二个空间的向量的集合。
12. **线性变换的性质**：给定两个线性变换W1和W2，它们的乘积W1W2的定义是先应用W1再应用W2。
计算与证明部分涉及的题目主要测试了正定矩阵的性质、正交变换的应用、齐次方程组解空间的性质以及线性变换的矩阵表示和性质。解答这些题目需要对线性代数的基本概念和定理有深入理解，包括二次型的规范形、正定矩阵的性质、特征值的运算规则、线性空间的维数、过渡矩阵的计算、线性变换的矩阵表示等。通过这些题目，学生可以检验自己对高等代数核心概念的掌握程度。
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