2018年北京理工大学线性代数答案.pdf

线性代数是数学的一个重要分支，主要研究向量、矩阵和线性变换等概念及其在几何、物理学、工程学等多个领域中的应用。这个部分的内容主要涵盖了基础的线性代数知识，包括行列式、矩阵的基本性质以及相关解题技巧。 1. **行列式**：行列式是线性代数中的基本概念，它是一个标量值，表示由方阵的行或列元素构成的特定组合。题目中提到“若行列式主对角线上的元素全为0，则此行列式为0”，这是行列式的性质之一。对于n阶方阵A，如果其主对角线上的所有元素都是0，那么根据行列式的定义，可以得知该行列式A的值为0。这是因为行列式的计算通常涉及到对角线元素的乘积，而这里是所有乘积项都是0，所以整体结果为0。 2. **矩阵**：矩阵是由若干行和列组成的数表，是线性代数的核心对象。矩阵的加法、减法和标量乘法遵循基本的算术规则。题目中提到“下面不一定为方阵的是”，这暗示了非方阵的概念。方阵是指行数与列数相等的矩阵，而一般矩阵则可以是行数不等于列数的。 3. **初等矩阵**：初等矩阵是通过对单位矩阵进行一次初等行变换得到的矩阵，它们在解线性方程组和进行矩阵运算时具有特殊作用。题目指出“下列矩阵中不是初等矩阵的矩阵是（）”，这要求识别哪些矩阵不能通过简单的行操作得到，例如交换两行、某一行乘以非零标量或某两行的线性组合。 4. **线性方程组**：线性代数的一个核心问题是解线性方程组，矩阵可以帮助我们用更简洁的方式表示和处理这类问题。例如，通过高斯消元法或矩阵的逆，我们可以找到方程组的唯一解、无解或者无穷多解的情况。 5. **线性变换**：线性变换是将向量空间中的向量映射到同一空间或另一个向量空间的函数，保持向量加法和标量乘法的运算性质。矩阵可以表示线性变换，使得对向量进行线性变换等同于对向量进行矩阵乘法。 6. **填空题与判断题**：这部分内容涉及了矩阵的性质判断和填空，比如矩阵是否是初等矩阵、某些特定条件下的行列式值、矩阵运算的结果等。这些题目旨在检验学生对基本概念的理解和应用能力。 通过这些题目，学生能够巩固对线性代数基础知识的掌握，包括行列式的性质、矩阵的基本运算、初等矩阵的识别以及线性变换的理解。同时，这种在线自动判卷的形式也有利于提高学习效率，及时反馈学习效果，以便学生针对性地进行复习和提高。