【线性规划模型及其应用】
线性规划是一种优化方法，用于在满足一组线性约束条件下最大化或最小化一个线性目标函数。在化学制药厂的问题中，目标是找到各无害物的产量（xj）以使总处理费用达到最小。我们可以建立以下线性规划模型：
目标函数（最小化总费用）：
$$ Minimize \sum_{j=1}^{n} c_j x_j $$
约束条件（有害物处理要求）：
对于每个有害物质i（i=1, ..., m）：
$$ \sum_{j=1}^{n} a_{ij} x_j \geq b_i $$
其中，xj表示第j种无害物的产量，cj是制成一单位第j种无害物的费用，aij表示每制成一单位第j种无害物能处理掉的第i种有害物的数量，bi是第i种有害物的总量。
对偶规划模型是对原始线性规划问题的另一种形式，它提供了经济意义的解释。在本例中，对偶模型的变量代表了资源的影子价格，即每增加一点资源，最优解会如何改变。对偶模型的经济意义在于，它的目标函数值代表了满足所有约束的最低成本，而约束则反映了资源的可用性。
【线性规划的性质和对偶关系】
问题中的两个线性规划（四（15分）部分）要求证明一个线性规划的最优解也是另一个的最优解。线性规划的对偶原理指出，如果一个线性规划是可行的并且有解，那么它的对偶也有解，且原问题和对偶问题的最优解有着相同的最优值。这个性质可用于证明两个线性规划之间的关系。
【动态规划在投资决策中的应用】
动态规划是解决多阶段决策问题的有效工具，特别是在每个阶段的决策依赖于前一阶段结果的情况下。对于投资者的投资问题，我们设定状态变量Sk表示第k年初可分配的资金总量，决策变量xk表示第k年初分配给基金A的资金量。
1. 状态转移方程描述了资金从一个阶段到下一个阶段的变化：
$$ S_k = S_{k-1} + x_{k-1} + r_{k-1}(S_{k-1} - x_{k-1}) $$
其中，r_{k-1}是第k-1年的基金年利率。
2. 阶段指标（递推方程）计算第k年的最优投资决策：
$$ f_k(S_k) = \max_{0\leq x_k \leq S_k} [f_{k+1}(S_{k+1}) + r_k(x_k)] $$
其中，$S_{k+1}$根据状态转移方程计算，f_k(S_k)是第k年初投资决策的最优收益。
3. 最优决策可以通过回溯递推方程来确定，从最后一期（第5年）开始，向前计算每个阶段的最优资金分配。
【项目网络计划的优化】
项目网络计划通常使用关键路径法（CPM）或计划评审技术（PERT）来管理。在给定的网络计划中，我们需要确定每个工作的最早开始时间（ES），最晚开始时间（LS），最早完成时间（EF），最晚完成时间（LF），以及浮动时间（FT）。关键路径是项目中最长的路径，决定了项目的最短完成时间。通过调整非关键路径上的工作时间，可以在不延长项目总工期的前提下优化资源分配。在给定的18天工期要求下，需要确保所有关键工作的持续时间之和等于18天。
