三角函数是数学中重要的组成部分，尤其在解决周期性问题、物理问题等领域有着广泛的应用。本文主要探讨了三角函数图像与性质的关键知识点，并列举了几个经典题型，旨在帮助理解和掌握这些概念。
我们来看正弦函数y=sinx、余弦函数y=cosx和正切函数y=tanx的图像。正弦函数的图像是一条在y轴两侧交替上升和下降的波形，余弦函数的图像与正弦函数相似，但相对于y轴向右平移了半个周期。正切函数的图像则在每个坐标轴上都有垂直渐近线，且在每个π/2的整数倍处没有定义。
三角函数的单调性是其性质中的关键。正弦函数的单调递增区间是[2kπ, π+2kπ]，递减区间是[π+2kπ, 2π+2kπ]，其中k是任意整数。余弦函数的单调递增区间是[2kπ, π+2kπ]，递减区间是[π/2+2kπ, 3π/2+2kπ]。正切函数在每个区间(2kπ, π+2kπ)内单调递增，但在每个kπ处有垂直渐近线。
对称轴和对称中心是三角函数的另一重要特征。对于y=sinx，对称轴是x=kπ，对称中心是(kπ, 0)；y=cosx的对称轴是x=kπ/2，对称中心是(kπ, 0)。正切函数y=tanx没有对称轴，但对称中心是(kπ/2, 0)。
函数y=Asin(ωx+φ)+B的形式包含了三角函数的基本特性。A代表振幅，决定了函数的最大值和最小值；ω决定周期，周期T=2π/|ω|；φ是初相，决定了函数图像在y轴上的初始位置；B是函数的平移量，决定了函数图像沿y轴的上下移动。
三角函数的伸缩变化是通过改变x和y坐标实现的。例如，y=sinx的图像可以通过平移和伸缩变换得到y=Asin(Bx+C)+D的图像。平移涉及到x坐标的变化，而伸缩则涉及y坐标的调整。
求三角函数解析式的方法通常包括确定振幅A、截距B、频率ω和初相φ。这可以通过观察图像的最高点、最低点、周期以及与x轴的交点来完成。
求三角函数周期的方法有多种，包括使用基本周期公式、图像法和定义法。对于y=Asin(ωx+φ)，最小正周期是2π/|ω|；对于y=Acos(ωx+φ)，最小正周期是2π/|ω|；对于y=tan(ωx+φ)，最小正周期是π/|ω|。
五点法作图是一种绘制y=Asin(ωx+φ)简图的便捷方法，通过选取特定的五个点(x=0, x=π/2, x=π, x=3π/2, x=2π)来确定函数的形状。
求三角函数值域或最值的方法通常包括利用正余弦函数的有界性、转化为标准形式以及使用换元法。例如，对于y=sin2x-4sin x+5，可以令t=sin x，然后在t的范围内求解函数的值域。
理解和掌握这些三角函数的图像与性质是解决相关问题的基础，无论是解决数学题目还是在工程、物理等领域应用，都至关重要。通过深入学习和实践，我们可以灵活运用这些知识，解决更复杂的问题。
