ACM数论模板~。。。

目录 1 一． 扩展的欧几里德和不定方程的解 2 二． 中国同余定理 3 三． 原根 5 四． 积性函数 6 五． 欧拉函数性质 7 六． 线性求1-max的欧拉函数值 9 七． 求单个欧拉函数，求最小的x(phi（n）%x==0),使得2^x =1(mod n) 10 【ACM数论模板】是关于在编程竞赛中常见的数论问题解决方法的总结，主要涉及以下几个关键知识点： 1. **扩展的欧几里德算法（Extended Euclidean Algorithm）**： 扩展的欧几里德算法是用于求解最大公约数（GCD）的一种方法，同时可以得到一组整数解，使得`ax + by = gcd(a, b)`。在C++中，可以通过递归实现。在解不定方程`ax + by = n`时，先找到`a`和`b`的最大公约数`gcd`，然后利用扩展欧几里德算法的结果求解方程的整数解。 2. **中国剩余定理（Chinese Remainder Theorem, CRT）**： 中国剩余定理是数论中的一个重要定理，用来解决多个同余方程组的问题。例如，给定两个同余方程`a*x ≡ b (mod m)`和`c*y ≡ d (mod n)`，CRT可以找到一个唯一的解`x`（模`m*n`），在模`m`和`n`下分别满足这两个条件。在Poj 2891这个题目中，展示了如何用C++实现两个同余方程的CRT求解。 3. **原根（Primitive Root）**： 在模数`p`下，如果`g`是模`p`的一个原根，那么对于所有`1 <= a < p`，存在`k`使得`g^k ≡ a (mod p)`。原根在密码学和编码理论中有重要应用，求解原根涉及到模运算和阶的概念。 4. **积性函数（Multiplicative Function）**： 积性函数是一类特殊的数论函数，它们满足若两整数互质，其函数值乘积等于各自函数值的乘积。例如，欧拉函数`φ(n)`就是一个积性函数，它表示小于或等于`n`且与`n`互质的正整数的数量。 5. **欧拉函数（Euler's Totient Function, φ(n)）**： 欧拉函数`φ(n)`在数论中扮演着核心角色，它描述了一个数`n`的约数个数的性质。例如，`φ(p)`对于素数`p`等于`p-1`，而`φ(ab)`对于互质的`a`和`b`等于`φ(a) * φ(b)`。欧拉函数在计算模反元素、RSA加密算法中都有应用。 6. **线性求1-max的欧拉函数值**： 这可能指的是寻找一个数`x`，使得`φ(x)`在某个范围内最大化或者最小化。求解这类问题通常需要对欧拉函数的性质有深入理解，可能涉及枚举、动态规划等算法。 7. **求单个欧拉函数，求最小的x满足φ(n)%x == 0**： 这个问题是在找一个最小的正整数`x`，使得`φ(n)`能被`x`整除。通常，可以通过对`n`的因数进行分析，结合欧拉函数的积性性质来解决。 在实际编程竞赛中，理解和熟练运用这些数论概念是解决问题的关键。掌握ACM数论模板可以帮助参赛者快速高效地解决相关的数论问题。为了更深入学习，可以研究更多实例，练习解题，并熟悉相关的算法实现。