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完整约束体系的哈密顿力学-勒让德变换
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完整约束体系的哈密顿力学-勒让德变换
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完整约束体系的哈密顿力学
• Contemporary Hamiltonian mechanics is an energy-based theory,
which seeks to describe and explain mechanical systems by means of
the Hamiltonian .
• This amounts to expressing the total energy of the system in terms of
conjugate/canonical variables.
• when potential energy is velocity independent and then
the relationship of the generalized coordinates to the relevant
rectangular Cartesian coordinates is time-independent.
从二阶微分方程到一阶微分方程
物理模型:阻尼简谐振子
引入新变量 ,定义为
任何一组 变量二阶微分方程都可以转换为等效的一组 变量一阶微分方程。
极坐标系下的平面轨道方程
E-L
引入新变量
正则变量
•
关于 的拉格朗日方程是二阶常微分方程。为使得方程降阶,可
令(共轭动量)
作为独立变量,根据
•
因为 ,所以由
可反解出 ,
再代回到 ,则将拉格朗日函数表示为
•
称为正则变量。这种由一组独立变量 变为另一组独立变量
的变换,称为勒让德变换
(Legendre transformation)
。
勒让德变换
考虑函数
对于单变量替换: ,可定义
定义
将 置换为
*
多元函数的
Legendre
变换
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