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好题速递 1
1.已知
P
是
ABC
内任一点,且满足
AP x AB y AC
,
x
、
y R
,则
2y x
的取值范围
是 ___ .
解法一:令
1 x y
AQ AP AB AC
x y x y x y
,由系数和
1
x y
x y x y
,知点
Q
在线段
BC
上.从而
1
AP
x y
AQ
.由
x
、
y
满足条件
0, 0,
1,
x y
x y
易知
2 (0,2)y x
.
解法二:因为题目没有特别说明
ABC
是什么三角形,所以不妨设为等腰直角三角形,则
立刻变为线性规划问题了.
好题速递 2
1.定义函数
( ) [ [ ]]f x x x
,其中
[ ]x
表示不超过
x
的最大整数,如:
[1.5] 1 [ 1.3] 2 ,
,当
*
[0 ) ( )x n n N ,
时,设函数
( )f x
的值 域为
A
,记 集 合
A
中的 元素 个 数为
n
a
,则 式 子
90
n
a
n
的最小值为 .
【答案】
13
.
【解析】当
0,1n
时,
0x x
,其间有
1
个整数;
当
, 1n i i
,
1, 2, , 1i n
时,
2
( 1)i x x i i
,其间有
i
个正整数,故
( 1)
1 1 2 ( 1)
1
2
n
n n
a n
,
90
91 1
2 2
n
a
n
n n
,
由
91
2
n
n
得,当
13n
或
14
时,取得最小值
13
.
好题速递 3
1
.已知直线
l
平面
,垂足为
O
.在矩形
ABCD
中,
1AD
,
2AB
,若点
A
在
l
上移
动,点
B
在平面
上移动,则
O
,
D
两点间的最大距离为 .
解:设
AB
的中点为
E
,则
E
点的轨迹是球面的一部分,
1OE
,
2DE
,
所以
2 1OD OE ED
当且仅当
, ,O E D
三点共线时等号成立.
好题速递 4
1. 在平面直角坐标系
xOy
中,设定点
,A a a
,
P
是函数
1
0y x
x
图象上一动点.若
点
,P A
之间的最短距离为 2 2 ,则满足条件的实数
a
的所有值为 .
解:函数解析式(含参数)求最值问题
2
2 2
2
2
2 2
1 1 1 1
2 2 2 2AP x a a x a x a x a a
x x x x
因为
0x
,则
1
2x
x
,分两种情况:
(1)当
2a
时,
2
min
2 2 2AP a
,则
10a
(2)当
2a
时,
2
min
2 4 2 2 2AP a a
,则
1a
好题速递 5
1.已知
,x y R
,则
2
2
2
x y x
y
的最小值为 .
解: 构造函数
1
y x
,
2
2
y
x
,则
,x x
与
2
,y
y
两点分别在
两个函数图象上,故所求看成两点
,x x
与
2
,y
y
之间的距离平
方,
令
2 2
2 0 8 0 2 2
2
y x m
x mx m m
y
x
,
所以
2 2y x
是与
1
y x
平行的
2
2
y
x
的切线,故最小距离为
2d
所以
2
2
2
x y x
y
的最小值为 4
好题速递 6
1.已知定圆
1 2
,O O
的半径分别为
1 2
,r r
,圆心距
1 2
2O O
,动圆 C 与圆
1 2
,O O
都相切,圆心
C
的轨迹为如图所示的两条双曲线,两条双曲线的离心率
分别为
1 2
,e e
,则
1 2
1 2
e e
e e
的值为( )
A
.
1
r
和
2
r
中的较大者
B
.
1
r
和
2
r
中的 较 小 者
C
.
1 2
r r
D.
1 2
r r
解:取
1 2
,O O
为两个焦点,即
1c
若
C
与
1 2
,O O
同时相外切(内切),则
1 2 1 2 2 1
CO CO R r R r r r
若
C
与
1 2
,O O
同时一个外切一个内切,则
1 2 1 2 2 1
CO CO R r R r r r
因此形成了两条双曲线.
此时
2 1 2 1
1 2
1 2
2 1 2 1
1 1
2 2
1 1
2 2
r r r r
e e
e e
r r r r
,不妨设
2 1
r r
,则
1 2
2
1 2
e e
r
e e
好题速递 7
1. 已知
1 2
,F F
是双曲线
2 2
2 2
1 0, 0
x y
a b
a b
的左右焦点,以
1 2
F F
为直径的圆与双曲线的
一条渐近线交于点
M
,与双曲线交于点
N
,且
M
、
N
均在第一象限,当直线
1
/ /MF ON
时,
双曲线的离心率为
e
,若函数
2
2
2f x x x
x
,则
f e
.
解:
2 2 2
,
x y c
M a b
b
y x
a
1
F M
b
k
a c
,所以
ON
b
k
a c
,所以
ON
的方程为
b
y x
a c
,
所以
2 2
2 2
2 2
1
,
2 2
x y
a a c
ab
a b
N
b
c ac c ac
y x
a c
又
N
在圆
2 2 2
x y c
上,所以
2 2
2
2 2
2 2
a a c
ab
c
c ac c ac
所以
3 2
2 2 2 0e e e
,所以
2
2
2 2f e e e
e
好题速递 8
1. 已知
ABC
的三边长分别为
, ,a b c
,其中边
c
为最长边,且
1 9
1
a b
,则
c
的取值范围
是 .
解:由题意知,
,a c b c
,故
1 9 1 9 10
1
a b c c c
,所以
10c
又因为
a b c
,而
1 9 9
10 16
b a
a b a b
a b a b
所以
16c
故综上可得
10 16c
好题速递 9
1.在平面直角坐标系
xoy
中,已知点
A
是半圆
2 2
4 0 2 4x y x x
上的一个动点,点
C
在 线 段
OA
的 延 长 线 上 . 当
20OA OC
时 , 则 点
C
的 纵 坐 标 的 取 值 范 围
是 .
解:设
2 2 cos , 2 sinA
,
2 2 cos , 2 sinC
,
1
,
,
2 2
由
20OA OC
得:
5
2 2 cos
所以
5 sin 0
5 5sin
2 sin 5,5
2 2 cos 1 cos cos 1
C
y
好题速递 10
1.点
D
是直角
ABC
斜边
AB
上一动点,
3, 2AC BC
,
将直角
ABC
沿着
CD
翻折,使
'B DC
与
ADC
构成直二
面角,则翻折后
'AB
的最小值是 .
解:过点
'B
作
'B E CD
于
E
,连结
,BE AE
,
设
'BCD B CD
,
则有
' 2sin , 2cos ,
2
B E CE ACE
在
AEC
中由余弦定理得
2 2 2
9 4 cos 12 cos cos 9 4 cos 12sin cos
2
AE
在
'RT AEB
中由勾股定理得
2 2 2 2 2
' ' 9 4 cos 12sin cos 4sin 13 6 sin 2AB AE B E
所以当
4
时,
'AB
取
得最小值为
7
好题速递 11
1.已知函数
4 2 1
4 2 1
x x
x x
k
f x
,若对于任意的实数
1 2 3
, ,x x x
均存在以
1 2 3
, ,f x f x f x
为
三边长的三角形,则实数
k
的取值范围是 .
解:
4 2 1 1
1
1
4 2 1
2 1
2
x x
x x
x
x
k k
f x
令
1 1
0,
1
3
2 1
2
x
x
g x
当
1k
时,
2
1
3
k
f x
,其中当且仅当
0x
时取得等号
所以 若对 于任意 的实 数
1 2 3
, ,x x x
均存 在以
1 2 3
, ,f x f x f x
为三 边长 的三角 形, 只需
2
2
3
k
,所以
1 4k
当
1k
时,
2
1
3
k
f x
,其中当且仅当
0x
时取得等号
所以 若对 于任意 的实 数
1 2 3
, ,x x x
均存 在以
1 2 3
, ,f x f x f x
为三 边长 的三角 形, 只需
2
2 1
3
k
,所以
1
1
2
k
综上可得,
1
4
2
k
好题速递 12
1
.已知函数
2 2
2 1f x x ax a
,若关于
x
的不等式
0f f x
的解集为空集,则实数
a
的取值范围是 .
解:
2 2
2 1 1 1f x x ax a x a x a
所以
0f x
的解集为
1, 1a a
所以若使
0f f x
的解集为空集就是
1 ( ) 1a f x a
的解集为空,即
min
( ) 1f x a
所以
1 1a
,即
2a
好题速递 13
1
. 已知定义在
R
上的函数
f x
满足①
2 0f x f x
;②
2 0f x f x
;③在
1,1
上的表达式为
2
1 , 1,0
1 , 0,1
x x
f x
x x
,则函数
f x
与函数
1
2
2 , 0
log , 0
x
x
g x
x x
的图
象在区间
3,3
上的交点个数为 .
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- Whoelse?2023-10-16资源很好用,有较大的参考价值,资源不错,支持一下。
- welcomy2023-07-05资源值得借鉴的内容很多,那就浅学一下吧,值得下载!
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