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正交变换与正交矩阵PPT学习教案.pptx
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会计学
1
摘
要
介
绍正交
变换的
概念,研
究线
性变换为
正交变
换
的
等
价
条件
;
从
矩阵
理论
的
角
度
,
探
讨
正
交
矩
阵的
常用性质
.
关键词
正交变换;正交矩阵;等价条件;性质
一、正交变换
定
义
1.1
设
A
是
欧
氏
空
间
V
的
一
个
线
性
变
换
,
若
A
保
持
向
量
的
内
积
不
变
,
即
对
于
任
意
的
,
V
都
有
(
A
,
A
) = (
,
)
,则称
A
为
V
的正交变换
.
第
1
页
/
共
16
页
二、等价条件
定理
2.1
设
A
是
n
维欧氏
空
间
V
的一个
线性
变
换
,
则下列命题等价
:
1)
A
是正交变换;
2)
A
保
持
向
量
的
长
度
不
变
,
即
对
于
V
,
|
A
|=|
|
;
3)
A
把
V
的标准正交基变为
V
的标准正交基;
4)
A
在标准正交基下的矩阵是正交矩阵
.
证:
1
)
2
)对于
V,
由
(
A
,
A
)=(
,
),
即得:
|
A
|=|
|
第
2
页
/
共
16
页
2
)
3
)
设
1
,
2
,
…
,
n
是
V
的
任
一
标
准
正
交
基
,
记
i
+
j
=
V
.
由
|
A
|=
|
|
或
(
A
,
A
)=(
,
)
得
(
A
(
i
+
j
)
,
A
(
i
+
j
))=(
i
+
j
,
i
+
j
)
而
(
A
(
i
+
j
)
,
A
(
i
+
j
))
=
(
A
i
,
A
i
)+2(
A
i
,
A
j
)+
(
A
j
,
j
)
=
(
i
,
i
)+2(
i
,
j
)+(
j
,
j
)
(
i
+
j
,
i
+
j
)
=
(
i
,
i
)
+
2
(
i
,
j
)+
(
j
,
j
)
故
A
1
,
A
2
,…
,
A
n
是
V
的
一组
标
准正
交基
.
第
3
页
/
共
16
页
0
,
(
,
)
(
,
)
1
,
i
j
i
j
i
j
A
A
i
j
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