"函数极限与连续性知识点及典例"
函数极限与连续性是高等数学的重要概念，函数极限是研究函数在某一点或无穷远处的行为，而连续性是研究函数在某一点或某一区间内的行为。本文将详细介绍函数极限和连续性的定义、性质、判定准则和应用。
一、函数极限
函数极限是指函数在某一点或无穷远处的极限值。函数极限可以分为左右极限和唯一极限。
1.1 定义
函数极限的定义是指对于任意给定的正数 ε（不论它多么小），总存在正整数 N，使得对于 Nn＞时的所有 nx，不等式 ε＜axn 都成立，那末就称常数 a 是数列 nx 的极限，或者称数列 nx 收敛于 a。
1.2 性质
函数极限有以下几种性质：
* 唯一性：函数极限的唯一性是指函数在某一点或无穷远处只有一个极限值。
* 存在准则：函数极限的存在准则是指函数在某一点或无穷远处是否存在极限值。
* 等价无穷小：函数极限的等价无穷小是指两个函数在某一点或无穷远处的极限值相等。
二、连续性
连续性是指函数在某一点或某一区间内的行为。连续性可以分为左右连续性和唯一连续性。
2.1 定义
连续性的定义是指对于任意给定的正数 ε（不论它多么小），总存在正数 δ，使得当 x 满足不等式 δ＜xx＜时，对应的函数值 f(x) 都满足不等式 ε＜f(x)-A＜，那么常数 A 就叫函数 f 的极限当 x→x0。
2.2 性质
连续性有以下几种性质：
* 唯一性：连续性的唯一性是指函数在某一点或某一区间内只有一个极限值。
* 存在准则：连续性的存在准则是指函数在某一点或某一区间内是否存在极限值。
* 等价无穷小：连续性的等价无穷小是指两个函数在某一点或某一区间内的极限值相等。
三、判定准则
判定准则是指判断函数是否存在极限值或连续的方法。常见的判定准则有：
* 极限存在的充要条件：函数在某一点或无穷远处存在极限值的充要条件是指函数在该点或无穷远处的极限值存在。
* 连续性的判定准则：函数在某一点或某一区间内是否存在极限值的判定准则是指函数在该点或该一区间内的极限值存在。
四、应用
函数极限和连续性有广泛的应用，如：
* 微积分：函数极限和连续性是微积分的基础，是研究函数的变化率和累积的关键。
* 数学分析：函数极限和连续性是数学分析的重要工具，是研究函数的性质和行为的方法。
* 物理应用：函数极限和连续性有广泛的物理应用，如研究运动学、动力学和电磁学等。
函数极限和连续性是高等数学的重要概念，理解函数极限和连续性的定义、性质、判定准则和应用是学习高等数学的关键。
