复变函数与积分变换是工程数学中的重要分支，它在物理学、工程学、信号处理以及许多其他科学领域中都有广泛的应用。复变函数涉及到复数域内的函数理论，而积分变换则是通过特定的积分公式将一个函数转换为另一个形式，以简化计算或揭示函数的内在性质。
复变函数是研究复数作为自变量的函数，主要涉及复函数的定义、性质、解析性以及复平面上的积分。复函数f(z)是关于复变量z=f(x+iy)的函数，其中x和y是实数，i是虚数单位，满足i²=-1。复变函数的一个关键概念是解析性，一个函数如果在某区域内可微且其偏导数存在且连续，那么它就是解析的。著名的例子是欧拉公式e^(iz)=cos(z)+i*sin(z)，它连接了复数和三角函数。
积分变换主要包括傅里叶变换、拉普拉斯变换和希尔伯特变换等。傅里叶变换是一种将函数表示为频率成分的方法，它在信号分析和图像处理中尤为关键。对于一个实值函数f(t)，其傅里叶变换F(w)定义为：
F(w) = ∫_{-\infty}^{+\infty} f(t) * e^(-jwt) dt
这里，j是虚数单位，w是频率。傅里叶逆变换则将频域表示恢复为时域表示。
拉普拉斯变换则在复数域内进行，用于线性常微分方程的求解。对于函数f(t)，其拉普拉斯变换F(s)定义为：
F(s) = ∫_{0}^{+\infty} f(t) * e^(-st) dt
s是复数，通常具有正实部，确保积分收敛。拉普拉斯逆变换可以解出原函数。
希尔伯特变换是一种线性运算，它可以将实值函数转化为其共轭函数，对于解析信号的分析有着重要作用。
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